Serre-Swan Duality

Gel\('\)fand-Naimark duality は, compact Hausdorff space \(X\) にその複素数値連続関数環 \(C(X)\) を対応させることにより, compact Hausdorff 空間の圏と単位元を持つ可換な \(C^{*}\)-algebra の圏が同値になる, という事実である。

更に, compact Hausdorff 空間 \(C(X)\) 上の有限階数 vector bundle に対応するのが, \(C(X)\) 上の有限生成 projective module であることを Swan [Swa62] が示している。

Gel\('\)fand-Naimark duality の 代数幾何学での類似は, affine scheme と可換環との対応であるが, その枠組みでの vector bundle と projective module の間の対応があることは, Swan より前に Serre [Ser58] により示されている。なので, この対応は Serre-Swan duality と呼ばれることが多い。

一般化や精密化も色々考えられているが, Swan の考えた方向では, Hermitian metric を持つ vector bundle と Hilbert \(C(X)\)-module の対応がある。 Gogić [Gog12] は [DG83] と [Tak79] を参照している。

• Hilbert \(C^{*}\)-module

Hilbert \(C^{*}\)-module とは, 簡単に言えば, Hilbert space の定義で \(\bbC \) を \(C^{*}\)-algebra に変えたものである。

位相空間を (locally) compact Hausdorff space より広い class に拡張することも, 古くから考えられている。 Paracompact Hausdorff space への拡張は Goodearl [Goo84] により得られ, 更に任意の位相空間への拡張は, Vaserstein [Vas86] により得られている。 もちろんそのような拡張のためには, vector bundle に条件を付けないといけない。

• vector bundle of finite type

Vector bundle は Lie groupoid を表現する場として使われるので, 一般化として Lie groupoid の表現と Lie groupoid の convolution algebra を考えるのは自然である。 実際, Kališnik [Kal11] により étale Lie groupoid の場合が考えられている。 Schweigert, Tropp, Valentino [STV14] は, compact étale Lie groupoid に対し, vector bundle ではなく bundle gerbe module を考えている。

他にも, locally ringed space の場合を考えた Morye の [Mor13] などがある。

References

[DG83]

Maurice J. Dupré and R. M. Gillette. Banach bundles, Banach modules and automorphisms of \(C^{*}\)-algebras. Vol. 92. Research Notes in Mathematics. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, MA, 1983, pp. iii+111. isbn: 0-273-08626-X.

[Gog12]

Ilja Gogić. “Topologically finitely generated Hilbert \(C(X)\)-modules”. In: J. Math. Anal. Appl. 395.2 (2012), pp. 559–568. url: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2012.05.050.

[Goo84]

K. R. Goodearl. “Cancellation of low-rank vector bundles”. In: Pacific J. Math. 113.2 (1984), pp. 289–302. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102709193.

[Kal11]

Jure Kališnik. “Representations of étale Lie groupoids and modules over Hopf algebroids”. In: Czechoslovak Math. J. 61(136).3 (2011), pp. 653–672. arXiv: 0806.1832. url: https://doi.org/10.1007/s10587-011-0037-7.

[Mor13]

Archana S. Morye. “Note on the Serre-Swan theorem”. In: Math. Nachr. 286.2-3 (2013), pp. 272–278. arXiv: 0905.0319. url: http://dx.doi.org/10.1002/mana.200810263.

[Ser58]

J.-P. Serre. “Modules projectifs et espaces fibrés à fibre vectorielle”. In: Séminaire P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot, 1957/58, Fasc. 2, Exposé 23. Paris: Secrétariat mathématique, 1958, p. 18.

[STV14]

Christoph Schweigert, Christopher Tropp, and Alessandro Valentino. “A Serre-Swan theorem for Gerbe modules on étale Lie groupoids”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), No. 28, 819–835. arXiv: 1401.2824.

[Swa62]

Richard G. Swan. “Vector bundles and projective modules”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 105 (1962), pp. 264–277. url: https://doi.org/10.2307/1993627.

[Tak79]

Alonso Takahashi. “A duality between Hilbert modules and fields of Hilbert spaces”. In: Rev. Colombiana Mat. 13.2 (1979), pp. 93–120.

[Vas86]

Leonid N. Vaserstein. “Vector bundles and projective modules”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 294.2 (1986), pp. 749–755. url: https://doi.org/10.2307/2000213.