Differential Graded Objects

\(\Z \) による gradig を持つもので, 次数 \(1\) または \(-1\) の \(d^{2}=0\) となる作用素を持つものを differential graded object (dg object) という。 Abelian category での dg object は, 古典的に chain complex と呼ばれてきた。 その Abelian category が, 環 \(R\) 上の (右または左) 加群の圏の場合, dg \(R\)-module と呼ぶべきだろう。

• chain complex
• differential graded module

\(R\) が可換環の場合 dg \(R\)-module の圏は symmetric monoidal category になるので, 様々な代数的構造の dg 版が定義できる。

• derivation
• differential graded algebra
• differential graded coalgebra
• differential graded algebra 上の differential graded module
• differential graded coalgebra 上の differential graded comodule
• differential graded Lie algebra
• differential graded Hopf algebra
• Hopf algebra up to homotopy

Cup-\(1\) product を持つものとして, Porter と Suciu [PS22] が binomial cup-one differential graded algebra という構造を導入している。

• binomial cup-one differential graded algebra

Grading を持たない (忘れた) differential module を考えている人もいる。 Avramov と Buchweitz と Iyengar の [ABI07] など。 Differentail module についての基本的なことも書いてある。彼等の目的は, Carlsson が有限 CW複体への \(\Z _2^k\)-action を調べたときに考えた多項式環上の differential graded module に関する結果 [Car83; Car87] と, Hochster, Peskine, P. Roberts, Szpiro らによる local ring の “New Intersection Theorem” [Hoc02; Rob98] に共通すること, つまり代数的トポロジーと 可換環論の両方に使える理論を構築することのようである。

Hopf algebra up to homotopy は Anick により [Ani89] で導入された概念である。ある条件の下で, ある primitively generated chain Hopf algebra と Hopf algebra up to homotopy として同型になることが示されているが, その別証を Jonathan Scott が [Sco05] で与えている。

Karoubi [Kar09] は, quasi-commutative differential graded algebra という概念を考えている。 Simplicial set に対し, quasi-commutative differential graded algebra を構成している。 その algebraic な data から元の simplicial set の geometric realization の homotopy type が復元できるらしい。

Dg algebra の many-objectification として dg category がある。

• dg category

References

[ABI07]

Luchezar L. Avramov, Ragnar-Olaf Buchweitz, and Srikanth Iyengar. “Class and rank of differential modules”. In: Invent. Math. 169.1 (2007), pp. 1–35. arXiv: math/0602344. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-007-0041-6.

[Ani89]

David J. Anick. “Hopf algebras up to homotopy”. In: J. Amer. Math. Soc. 2.3 (1989), pp. 417–453. url: http://dx.doi.org/10.2307/1990938.

[Car83]

G. Carlsson. “On the homology of finite free \((\mathbf {Z}/2)^{n}\)-complexes”. In: Invent. Math. 74.1 (1983), pp. 139–147. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01388534.

[Car87]

Gunnar Carlsson. “Free \((\mathbf {Z}/2)^3\)-actions on finite complexes”. In: Algebraic topology and algebraic \(K\)-theory (Princeton, N.J., 1983). Vol. 113. Ann. of Math. Stud. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1987, pp. 332–344.

[Hoc02]

Melvin Hochster. “Big Cohen-Macaulay algebras in dimension three via Heitmann’s theorem”. In: J. Algebra 254.2 (2002), pp. 395–408. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0021-8693(02)00086-8.

[Kar09]

Max Karoubi. “Cochaînes quasi-commutatives en topologie algébrique”. In: Pure Appl. Math. Q. 5.1 (2009), pp. 1–68. arXiv: math/0509268. url: https://doi.org/10.4310/PAMQ.2009.v5.n1.a1.

[PS22]

Richard D. Porter and Alexander I. Suciu. “Differential graded algebras, Steenrod cup-one products, binomial operations, and Massey products”. In: Topology Appl. 313 (2022), Paper No. 107987, 37. arXiv: 2105.10753. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2021.107987.

[Rob98]

Paul C. Roberts. Multiplicities and Chern classes in local algebra. Vol. 133. Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1998, pp. xii+303. isbn: 0-521-47316-0. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511529986.

[Sco05]

Jonathan Scott. “Hopf algebras up to homotopy and the Bockstein spectral sequence”. In: Algebr. Geom. Topol. 5 (2005), 119–128 (electronic). arXiv: math/0412207. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2005.5.119.