Koszul Algebras and Koszul Duality

Koszul duality は, 様々な文脈で使われるようになった。

元々は, Priddy が, [Pri70] で quadratic algebra に対し考えたものと思っていたが, Reiner と Stamate [RS10] によると, Fröberg [Frö87] によっても独立に発見されていたようである。

2023年5月29日の Davis mailing list に流れた Haynes Miller のメールでは, より正確には John Moore にちなんで Moore duality と呼ぶべきである, と書かれている。

Koszul dual という言葉は Priddy によるものだと思うが, その対応自体は, もっと前から認識されていたようである。実際, Cohn [Coh] によると, Quillen の rational homotopy theory の仕事 [Qui69] の中で \(1\)-reduced dg Lie algebra と \(2\)-reduced dg cocommutative coalgebra の対応として登場したのが最初らしい。

Guan と Lazarev の [GL21] に書かれているように, dg algebra やその上の module に対する Koszul duality の現代的な formulation は Positselski の [Pos11] で与えられた augmented dg algebra の圏と conilpotent dg coalgebra の圏の間の, bar construction と cobar construction により与えられた Quillen equivalence のようである。これについては, Positselski による解説 [Pos23] がある。

現在では, より一般的な代数構造に拡張されている。 Graded algebra が Koszul algebra であるための条件は様々な形で表わすことができるからである。

• quadratic algebra
• Koszul dual
• Koszul ring (algebra)

Graded algebra が Koszul であるための条件については, 例えば Fröberg の [Frö99] に簡潔にまとめられている。He と Wu の [HW08] では, Koszul algebra の基本的な性質について, Priddy の原論文の他に, Beilinson と Ginzburg と Soergel の [BGS96] と S.P. Smith の [Smi96] が挙げられている。

Koszul algebra の一般化には様々なものがあり, 全てをここに挙げるのは無理である。Lu と Si の [LS10] には, 以下のものが挙げられている。

• Brenner, Butler, King の almost Koszul algebra [BBK02]
• R. Berger の \(N\)-Koszul algebra [Ber01]
• Cassidy と Shelton の \(\mathcal {K}_2\)-algebra [CS08]

Berger の \(N\)-Koszul algebra は, quadratic algebra を \(N\)-homogeneous algebra に変えることにより得られる。

• \(N\)-homogeneous algebra

\(N\)-homogeneous algebra については, Berger と Dubois-Violette と Wambst の [BDW03] で調べられている。そこで述べられているように, \(N\)-Koszul algebra を考える時は, 通常の chain complex ではなく \(N\)-complex を用いる方が自然なようである。

Koszul dual により何が何に変換されるかを知っておくのは重要だろう。 例えば, Manin が quadratic algebra に対して定義した, white product と black product は Koszul dual で対応している。より一般的な圏での扱いとしては, Vallette の [Val08] を見るとよい。

外積代数に関する BGG (Bernstein-Gelfand-Gelfand) correspondence も Koszul duality の文脈で考えるのが自然なようである。その視点から Koszul algebra の differential graded version を定義し, BGG correspondence の拡張を考えているのは, He と Wu の [HW08] である。

• He と Wu の Koszul dg algebra [HW08]

Koszul duality を dg algebra に拡張するのは, 元々は Manin が [Man88] で提起し た問題らしいが。

また, operad を始めとした, 環以外のものに対しても考えられている。

• Koszul operad [GK94]
• dioperad の Koszul dual [Gan03]
• colored operad の Koszul dual [Laa]
• PROP の Koszul dual [Val07]
• strict polynomial functor の Koszul dual (Chalupnik の [Cha08] やその Touzé による拡張 [Tou])
• Kaufmann と Ward [KW23] による Feynman category の Koszul duality

References

[BBK02]

Sheila Brenner, Michael C. R. Butler, and Alastair D. King. “Periodic algebras which are almost Koszul”. In: Algebr. Represent. Theory 5.4 (2002), pp. 331–367. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1020146502185.

[BDW03]

Roland Berger, Michel Dubois-Violette, and Marc Wambst. “Homogeneous algebras”. In: J. Algebra 261.1 (2003), pp. 172–185. arXiv: math/0203035. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0021-8693(02)00556-2.

[Ber01]

Roland Berger. “Koszulity for nonquadratic algebras”. In: J. Algebra 239.2 (2001), pp. 705–734. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.2000.8703.

[BGS96]

Alexander Beilinson, Victor Ginzburg, and Wolfgang Soergel. “Koszul duality patterns in representation theory”. In: J. Amer. Math. Soc. 9.2 (1996), pp. 473–527. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-96-00192-0.

[Cha08]

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[Coh]

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[CS08]

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[Frö87]

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[Frö99]

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[Gan03]

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[GK94]

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[GL21]

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[HW08]

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[KW23]

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[Laa]

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[Man88]

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[Pos23]

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[Qui69]

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[Tou]

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[Val07]

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