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Grothendieck topology を代数的トポロジーに使ったものとしては以下の仕事がある。
- Mark Johnson による spectrum や多重ループ空間の定義。
-
Hopf algebroid は affine groupoid scheme であり, Hopf algebroid 上の comodule
はその groupoid scheme 上の quasi-coherent sheaf とみなせる。[Hov02]
- Pstragowski [Pst23] の synthetic spectrum の定義。
代数的トポロジーの伝統的な研究対象とは言えないかもしれないが, local pospace の圏を埋め込むための model category
を構成するため [BW06; Wor10] にも使われている。
Poset 上の Grothendieck topology を調べたものとして, Lindenhovius の [Lin] がある。 その拡張が
Hemelaer [Hem] により得られている。
- Grothendieck topologies on posets
Grothendieck topology を位相の一般化と考えたときに, 点がとれないことが位相空間との大きな違いであることを指摘し,
より位相空間に近い ionad という概念を考えているのは, Garner [Gar12] である。
もちろん, 元々は代数幾何の文脈で, Grothendieck が導入したものであり, Zariski site と étale site
が代表的な例である。Voevodsky の \(\mathbb {A}^1\)-homotopy では, その中間に位置する Nisnevich site が使われている。 他にも様々な
Grothendieck topology が代数幾何では使われている。
可微分多様体の場合は, Metzler の [Met] などがある。 角付き多様体の場合は, Bunke らの [BNV16]
がある。
Balmer [Bal15] は, 有限群の表現の成す圏を調べるために, finite \(G\)-set の圏に Grothendieck topology
を定義している。
有限群の表現に関連したものとしては, Fei Xu らの [XX22; WX] などで考えられているものがある。
Fei Xu らの [Di+] では, atomic topology を持つ site 上の module の sheaf と small category
の表現や topological group の discrete representation との関係が調べられている。
Atomic topology とは, right Ore condition をみたす small category 上に定義される
Grothendieck topology で, [Di+] では, Artin の lecture notes [Art62]. Milne の本
[Mil80] の II.1.9, Mac Lane と Moerdijk の本 [MM94] の III.9 の Theorem 1 と 2
が参照されている。
Coarse space の場合は, Schmidt [Sch99] や Hartmann [Har20; Har] により考えられている。
References
-
[Art62]
-
Michael Artin.
Grothendieck Topologies. Notes on a Seminar by M. Artin, Spring,
1962. 1962. url: http://www.math.ubc.ca/~gor/Artin-GT.pdf.
-
[Bal15]
-
Paul Balmer. “Stacks of group representations”. In: J. Eur. Math.
Soc. (JEMS) 17.1 (2015), pp. 189–228. arXiv: 1302.6290. url:
https://doi.org/10.4171/JEMS/501.
-
[BNV16]
-
Ulrich Bunke, Thomas Nikolaus, and Michael Völkl. “Differential
cohomology theories as sheaves of spectra”. In: J. Homotopy
Relat. Struct. 11.1 (2016), pp. 1–66. arXiv: 1311 . 3188. url:
https://doi.org/10.1007/s40062-014-0092-5.
-
[BW06]
-
Peter Bubenik and Krzysztof Worytkiewicz. “A model category
for local po-spaces”. In: Homology, Homotopy Appl. 8.1 (2006),
pp. 263–292. arXiv: math/0506352.
-
[Di+]
-
Zhenxing Di, Liping Li, Li Liang, and Fei Xu. Sheaves of modules on
atomic sites and discrete representations of topological groups. arXiv:
2108.13600.
-
[Gar12]
-
Richard Garner. “Ionads”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.8-9 (2012),
pp. 1734–1747. arXiv: 0912 . 1415. url:
https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.02.013.
-
[Har]
-
Elisa Hartmann. Coarse sheaf cohomology. arXiv: 2205.01635.
-
[Har20]
-
Elisa Hartmann. “Coarse cohomology with twisted coefficients”. In:
Math. Slovaca 70.6 (2020), pp. 1413–1444. arXiv: 1710.06725. url:
https://doi.org/10.1515/ms-2017-0440.
-
[Hem]
-
Jens Hemelaer. Grothendieck topologies on posets. arXiv: 1811.
10039.
-
[Hov02]
-
Mark Hovey. “Morita theory for Hopf algebroids and presheaves of
groupoids”. In: Amer. J. Math. 124.6 (2002), pp. 1289–1318. url:
http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v124/124.6hovey.pdf.
-
[Lin]
-
Bert Lindenhovius. Grothendieck topologies on a poset. arXiv: 1405.
4408.
-
[Met]
-
David Metzler. Topological and Smooth Stacks. arXiv: math/0306176.
-
[Mil80]
-
James S. Milne. Étale cohomology. Vol. 33. Princeton Mathematical
Series. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1980,
pp. xiii+323. isbn: 0-691-08238-3.
-
[MM94]
-
Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk. Sheaves in geometry and
logic. Universitext. A first introduction to topos theory, Corrected
reprint of the 1992 edition. New York: Springer-Verlag, 1994,
pp. xii+629. isbn: 0-387-97710-4.
-
[Pst23]
-
Piotr Pstragowski. “Synthetic spectra and the cellular motivic
category”. In: Invent. Math. 232.2 (2023), pp. 553–681. arXiv: 1803.
01804. url: https://doi.org/10.1007/s00222-022-01173-2.
-
[Sch99]
-
Alexander Schmidt. “Coarse geometry via Grothendieck topologies”.
In: Math. Nachr. 203 (1999), pp. 159–173. url:
https://doi.org/10.1002/mana.1999.3212030111.
-
[Wor10]
-
Krzysztof Worytkiewicz. “Sheaves of ordered spaces and interval
theories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 5.1 (2010), pp. 37–61.
arXiv: 0808.1820.
-
[WX]
-
Mawei Wu and Fei Xu. Skew category algebras and modules on ringed
finite sites. arXiv: 2207.04731.
-
[XX22]
-
Tengfei Xiong and Fei
Xu. “On sheaves in finite group representations”. In: J. Pure Appl.
Algebra 226.10 (2022), Paper No. 107085, 14. arXiv: 2010.10372.
url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2022.107085.
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