Grothendieck Topologies in Algebraic Geometry

Grothendieck topology は, 元々 代数幾何学の文脈で導入されたものであり, 代数幾何学で最もよく使われている, ように思う。 次は, [GK15] で挙げられている Grothendieck topology の例である。

• Zariski
• Nisnevich
• étale
• canonical
• fpqc
• fppf
• closed
• cdf
• finite
• qfh
• rh
• cdh
• ldh
• eh
• h

最近でも, pro-étale topology [Sch13; BS15], arc topology [BM21], cdarc topology [Elm+21] など新しい Grothendieck topology が導入されている。

• pro-étale topology
• arc topology
• cdarc topology

このような Grothendieck topology の意味については, 疑問に思う人が多いようで, MathOverflow でいくつかの質問が出ている。 この質問では, fppf や fpqc やその他の topology の目的について聞かれてる。 Tyler Lawson がトポロジーとの比較で回答していて, 分かりやすい。

Étale topology などの重要な Grothendieck topology は, unique factorization system から生成することができることを, Anel [Ane] が示している。

References

[Ane]

Mathieu Anel. Grothendieck topologies from unique factorisation systems. arXiv: 0902.1130.

[BM21]

Bhargav Bhatt and Akhil Mathew. “The arc-topology”. In: Duke Math. J. 170.9 (2021), pp. 1899–1988. arXiv: 1807.04725. url: https://doi.org/10.1215/00127094-2020-0088.

[BS15]

Bhargav Bhatt and Peter Scholze. “The pro-étale topology for schemes”. In: Astérisque 369 (2015), pp. 99–201. arXiv: 1309.1198.

[Elm+21]

Elden Elmanto, Marc Hoyois, Ryomei Iwasa, and Shane Kelly. “Cdh descent, cdarc descent, and Milnor excision”. In: Math. Ann. 379.3-4 (2021), pp. 1011–1045. arXiv: 2002.11647. url: https://doi.org/10.1007/s00208-020-02083-5.

[GK15]

Ofer Gabber and Shane Kelly. “Points in algebraic geometry”. In: J. Pure Appl. Algebra 219.10 (2015), pp. 4667–4680. arXiv: 1407.5782. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2015.03.001.

[Sch13]

Peter Scholze. “\(p\)-adic Hodge theory for rigid-analytic varieties”. In: Forum Math. Pi 1 (2013), e1, 77. arXiv: 1205.3463. url: https://doi.org/10.1017/fmp.2013.1.