Operad の応用

Operad は, 元々多重ループ空間の理論を定式化するために, 1970年代に導入されたものであり, 当然 algebraic topology ではその頃から使われてきた。1990年代に入り, トポロジーの他の分野や代数, そして数理物理などでも使われるようになってきた。

• トポロジーにおける operad
• 代数における operad
• 数理物理における operad
• 組み合せ論における operad

他には, 多様体の幾何学的構造を表すためにも使われている。

• Hertling-Manin の \(F\)-manifold [Mer04]
• Nijenhuis structure [Mer05]
• Poisson structure [Mer06]
• bi-Hamiltonian structure [Str10]
• 複素構造 [Mil]

Kapranov は, 1998年の ICM の講演 [Kap98] で operad と 代数幾何学の関連について述べている。

David Spivak とその共同研究者は, 一連の論文 [Spi; RS; VSL15; Ler18] の中で 力学系への応用を考えている。 また, [Gie+15] では, タンパク質などの生物学で現れる物質を調べるのに用いている。

Baez と Otter [BO17] は, 系統樹を扱うための operad を導入している。

古くから考えられている構造で, operad で記述されるものもある。 例えば, clone という構造があるが, Kerkhoff, Pöschel, Schneider の [KPS14] によると, その名前は [Coh65] に最初に登場したが, Cohn は Phillip Hall によると言っている。また, Emil Post が 1920年代に既に考えているようである。 Krähmer と Mahaman の [KM] によると, 現代的には, object 1つの Cartesian multicategory と同じもののようである。

• clone

References

[BO17]

John C. Baez and Nina Otter. “Operads and phylogenetic trees”. In: Theory Appl. Categ. 32 (2017), Paper No. 40, 1397–1453. arXiv: 1512.03337.

[Coh65]

P. M. Cohn. Universal algebra. Harper & Row, Publishers, New York-London, 1965, pp. xv+333.

[Gie+15]

Tristan Giesa, Ravi Jagadeesan, David I. Spivak, and Markus J. Buehler. “Matriarch: A Python Library for Materials Architecture”. In: ACS Biomaterials Science & Engineering 1.10 (2015), pp. 1009–1015. eprint: https://doi.org/10.1021/acsbiomaterials.5b00251. url: https://doi.org/10.1021/acsbiomaterials.5b00251.

[Kap98]

M. Kapranov. “Operads and algebraic geometry”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998). Extra Vol. II. 1998, pp. 277–286.

[KM]

Ulrich Krähmer and Myriam Mahaman. Clones from comonoids. arXiv: 2109.09634.

[KPS14]

Sebastian Kerkhoff, Reinhard Pöschel, and Friedrich Martin Schneider. “A short introduction to clones”. In: Proceedings of the Workshop on Algebra, Coalgebra and Topology (WACT 2013). Vol. 303. Electron. Notes Theor. Comput. Sci. Elsevier Sci. B. V., Amsterdam, 2014, pp. 107–120. url: https://doi.org/10.1016/j.entcs.2014.02.006.

[Ler18]

Eugene Lerman. “Networks of open systems”. In: J. Geom. Phys. 130 (2018), pp. 81–112. arXiv: 1705 . 04814. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2018.03.020.

[Mer04]

S. A. Merkulov. “Operads, deformation theory and \(F\)-manifolds”. In: Frobenius manifolds. Aspects Math., E36. Wiesbaden: Vieweg, 2004, pp. 213–251. arXiv: math/0210478.

[Mer05]

S. A. Merkulov. “Nijenhuis infinity and contractible differential graded manifolds”. In: Compos. Math. 141.5 (2005), pp. 1238–1254. arXiv: math/0403244. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X0500151X.

[Mer06]

S. A. Merkulov. “PROP profile of Poisson geometry”. In: Comm. Math. Phys. 262.1 (2006), pp. 117–135. arXiv: math/0401034. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-005-1385-7.

[Mil]

Joan Millès. Complex manifolds as families of homotopy algebras. arXiv: 1409.3604.

[RS]

Dylan Rupel and David I. Spivak. The operad of temporal wiring diagrams: formalizing a graphical language for discrete-time processes. arXiv: 1307.6894.

[Spi]

David I. Spivak. The operad of wiring diagrams: formalizing a graphical language for databases, recursion, and plug-and-play circuits. arXiv: 1305.0297.

[Str10]

Henrik Strohmayer. “Prop profile of bi-Hamiltonian structures”. In: J. Noncommut. Geom. 4.2 (2010), pp. 189–235. arXiv: 0804.0596. url: https://doi.org/10.4171/JNCG/53.

[VSL15]

Dmitry Vagner, David I. Spivak, and Eugene Lerman. “Algebras of open dynamical systems on the operad of wiring diagrams”. In: Theory Appl. Categ. 30 (2015), Paper No. 51, 1793–1822. arXiv: 1408.1598.