Operads in Combinatorics

単純化して言えば, operad は接木の操作を一般化したものなので, まず rooted tree と関係が深い。他にも, 様々な組み合せ論的構造と関係がある。

例えば, Giraudo の habilitation thesis [Gir] に operad の algebraic combinatorics への応用がまとめられている。Chapoton と Giraudo の [CG14] もある。Giraudo は, nonsymmetric operad についての本 [Gir18] も書いているし, Chapoton との共著 [CG14] で operad の組み合せ論への応用について述べている。

当然グラフに関係したものは色々あるが, 例えば Saïdi の [Saı̈] や Giraudo らの [Ava+20; Gir21] がある。

ホモトピー論に関係したものとしては, まず associahedron や permutohedron などの, 凸多面体 の族がある。

• associahedron
• permutohedron

このような多面体の族ではなく, 1つの多面体から multicategory (colored operad) を作る方法として, Arkhipov と Poliakova の [AP] の構成がある。正確には, その辺の成すグラフに向きが付いた directed polytope からの構成であるが。

Poset から作られた operad としては, Giraudo の [Gir16] や Fauvet らの [FFM18] などがある。 Poset の operad を使ったものとしては, Dolores-Cuenca らの [ABD23] や [DM] がある。

他には, species も関係が深い。

• species

References

[ABD23]

José Antonio Arciniega-Nevárez, Marko Berghoff, and Eric Rubiel Dolores-Cuenca. “An algebra over the operad of posets and structural binomial identities”. In: Bol. Soc. Mat. Mex. (3) 29.1 (2023), Paper No. 8, 29. arXiv: 2105 . 06633. url: https://doi.org/10.1007/s40590-022-00478-9.

[AP]

Sergey Arkhipov and Daria Poliakova. From polytopes to operads and back. arXiv: 2112.13743.

[Ava+20]

Jean-Christophe Aval, Samuele Giraudo, Théo Karaboghossian, and Adrian Tanasa. “Graph insertion operads”. In: Sém. Lothar. Combin. 84B (2020), Art. 66, 12. arXiv: 2002.10926.

[CG14]

Frédéric Chapoton and Samuele Giraudo. “Enveloping operads and bicolored noncrossing configurations”. In: Exp. Math. 23.3 (2014), pp. 332–349. arXiv: 1310.4521. url: https://doi.org/10.1080/10586458.2014.910850.

[DM]

Eric Dolores-Cuenca and Jose L. Mendoza-Cortes. A poset version of Ramanujan results on Eulerian numbers and zeta values. arXiv: 2205.05208.

[FFM18]

Frédéric Fauvet, Loı̈c Foissy, and Dominique Manchon. “Operads of finite posets”. In: Electron. J. Combin. 25.1 (2018), Paper No. 1.44, 29. arXiv: 1604.08149. url: https://doi.org/10.37236/6498.

[Gir]

Samuele Giraudo. Operads in algebraic combinatorics. arXiv: 1712. 03782.

[Gir16]

Samuele Giraudo. “Operads from posets and Koszul duality”. In: European J. Combin. 56 (2016), pp. 1–32. arXiv: 1504.04529. url: https://doi.org/10.1016/j.ejc.2016.02.008.

[Gir18]

Samuele Giraudo. Nonsymmetric operads in combinatorics. Springer, Cham, [2018] ©2018, pp. ix+172. isbn: 978-3-030-02073-6; 978-3-030-02074-3. arXiv: 2104.12398. url: https://doi.org/10.1007/978-3-030-02074-3.

[Gir21]

Samuele Giraudo. “Duality of graded graphs through operads”. In: Ann. Comb. 25.2 (2021), pp. 255–305. arXiv: 2004.12230. url: https://doi.org/10.1007/s00026-021-00529-4.

[Saı̈]

Abdellatif Saı̈di. Weighted rooted trees and deformations of operads. arXiv: 1405.6854.