Theory of Retracts

位相空間 \(X\) が, その部分空間 \(A\) に「潰れて」くれると嬉しい。 扱う空間が小さくなるにこしたことはない。 正確には, retract や deformation retract などの用語を使う必要がある。これらについては, 写像の拡張との関係もあって, トポロジーのかなり初期に “theory of retracts” として詳しく調べられている。 実際, Borsuk の本 [Bor67] や Hu の本 [Hu65] がある。また, いくつかのトポロジーの教科書の付録としても書かれていたりする。例えば, Dold の [Dol95], Ludell と Weingram の [LW69], Bredon の [Bre97] など。

• レトラクト (retract)
• 絶対レトラクト (absolute retract, AR)
• 絶対近傍レトラクト (absolute neighborhood retract, ANR)
• Euclid近傍レトラクト (ENR)
• 変位レトラクト (deformation retract)
• 近傍変位レトラクト (neighborhood deformation retract)
• 強変位レトラクト (strong deformation retract)
• 空間 \(X\) が 空間 \(Y\) を dominate する

West [Wes77] によると, ANR は, Borsuk により導入されたものようである。

ANR についての標準的な事実として, 以下が Guilbault の [Gui16] の Appendix にまとめられている。

• ANR の開部分集合は ANR
• \(A\) と \(B\) と \(A\cap B\) が compact ANR ならば \(A\cup B\) も compact ANR
• ANR の retract は ANR
• ANR は, 任意の位相空間とその閉部分集合の組に対し, ホモトピー拡張性質を持つ
• 任意の ANR は局所有限なCW複体と proper ホモトピー同値
• 任意の compact ANR は有限CW複体とホモトピー同値

最後の事実は, West の論文 [Wes77] で示されている。 Quinn の [Qui79] にも別証明がある。

この Guilbault の論文が compactでない多様体に関する survey であることからも分かるように, ANR などは compact でない多様体や無限次元多様体の研究などで使われる。

Palais は, [Pal66] で 無限次元多様体が, AR や ANR になる条件を調べている。

群の作用を持つ空間でも考えられている。 \(G\)-ANR については, James と Segal の [JS80] にまとめられている。 Jaworowski の [Jaw76] では, \(G\)-ENR が調べられている。

• \(G\)-ANR
• \(G\)-ENR

References

[Bor67]

Karol Borsuk. Theory of retracts. Monografie Matematyczne, Tom 44. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warsaw, 1967, p. 251.

[Bre97]

Glen E. Bredon. Topology and geometry. Vol. 139. Graduate Texts in Mathematics. Corrected third printing of the 1993 original. New York: Springer-Verlag, 1997, pp. xiv+557. isbn: 0-387-97926-3.

[Dol95]

Albrecht Dold. Lectures on algebraic topology. Classics in Mathematics. Reprint of the 1972 edition. Berlin: Springer-Verlag, 1995, pp. xii+377. isbn: 3-540-58660-1.

[Gui16]

Craig R. Guilbault. “Ends, shapes, and boundaries in manifold topology and geometric group theory”. In: Topology and geometric group theory. Vol. 184. Springer Proc. Math. Stat. Springer, [Cham], 2016, pp. 45–125. arXiv: 1210.6741. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-43674-6_3.

[Hu65]

Sze-tsen Hu. Theory of retracts. Detroit: Wayne State University Press, 1965, p. 234.

[Jaw76]

Jan W. Jaworowski. “Extensions of \(G\)-maps and Euclidean \(G\)-retracts”. In: Math. Z. 146.2 (1976), pp. 143–148.

[JS80]

I. M. James and G. B. Segal. “On equivariant homotopy theory”. In: Topology Symposium, Siegen 1979 (Proc. Sympos., Univ. Siegen, Siegen, 1979). Vol. 788. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1980, pp. 316–330.

[LW69]

Albert T. Lundell and Stephen Weingram. Topology of CW-Complexes. New York: Van Nostrand Reinhold, 1969, pp. viii+216.

[Pal66]

Richard S. Palais. “Homotopy theory of infinite dimensional manifolds”. In: Topology 5 (1966), pp. 1–16.

[Qui79]

Frank Quinn. “Ends of maps. I”. In: Ann. of Math. (2) 110.2 (1979), pp. 275–331. url: http://dx.doi.org/10.2307/1971262.

[Wes77]

James E. West. “Mapping Hilbert cube manifolds to ANR’s: a solution of a conjecture of Borsuk”. In: Ann. of Math. (2) 106.1 (1977), pp. 1–18. url: https://doi.org/10.2307/1971155.