Regular cell complex

CW複体で, 特性写像が埋め込みになっているものを, regular cell complex という。凸多面体や単体的複体など, 組み合せ論に現れるもは regular cell complex とみなせるものが多い。Regular cell complex は, つぶれている所がないので扱い易い。

• 単体的複体 (の幾何学的実現) は, regular CW複体である。
• regular cell complex は normal ([LW69])
• polyhedral あるいは polytopal complex

基本的な性質については, Björner らの oriented matroid の本 [Bjö+99] の §4.7 を見るのが便利である。 Mnëv の [Mnë] では, Lundell と Weingram の本 [LW69] が挙げられている。

与えられたCW複体が regular かどうかを判定する方法として, Hersh [Her] の結果がある。

Regular CW複体について重要なことは, その face poset が本質的な情報を全て持っていることである

• face poset
• regular CW complex の face poset の order complex は, 元の複体の重心細分であり, 元の CW complex と同相になる。

正確には, regular CW complex \(X\) に対し, その face poset \(F(X)\) の order complex の幾何学的実現, つまり分類空間 \(BF(X)\) を (その canonical な胞体分割も含め) \(X\) の重心細分と定義する, というべきだろう。それが \(X\) と同相になるのは, 証明が必要なことであるが, その証明は, 例えば, [Bjö+99] の §4.7 にある。

より一般的な形での証明としては, [Tam18] に書いたものがあるが, そこでは cylindrically normal という regular を一般化した構造が必要になる。これは, cell complex より一般的な, cellular stratification に対し定義される。

• cylindrically normal cell complex
• cellular stratification

代数的トポロジーでは, もちろん単体が重要な例である。 他にも立方体や globe などがあり, これらから simplicial set, cubical set, globular set などが定義される。\(n\)-globe とは, 各次元に胞体が2つづつある標準的な球面の胞体分割で境界が分割された, \(n\)次元球体である。

• 単体
• 立方体
• globe

Fløystad [Flø06] は, simplicial complex に対する enriched homology の定義の regular cell complex への拡張を考えているが, そこでは面と面の intersection が面になっているという “intersection property” を持つことが必要になる。 Intersection property を持つ cell complex についての文献として, Björner らの [BK91; BB97]が挙げられている。 Björner らの oriented matroid の本 [Bjö+99] の第4章や, その Appendix にも書いてある。 そのような regular cell complex の代表として, 凸多面体を貼り合わせてできる polyhedral complexがある。Kozlov の本 [Koz08] には, その一種として単体の直積を面とする prodsimplicial complex も書かれている。

• intersection property
• polyhedral complex
• prodsimplicial complex

凸多面体や PL多様体を考える際には, Mnëv の [Mnë] にあるように, PL regular cell complex を使うのがよいのだろう。

References

[BB97]

Louis J. Billera and Anders Björner. “Face numbers of polytopes and complexes”. In: Handbook of discrete and computational geometry. CRC Press Ser. Discrete Math. Appl. Boca Raton, FL: CRC, 1997, pp. 291–310.

[Bjö+99]

Anders Björner, Michel Las Vergnas, Bernd Sturmfels, Neil White, and Günter M. Ziegler. Oriented matroids. Second. Vol. 46. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 1999, pp. xii+548. isbn: 0-521-77750-X. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511586507.

[BK91]

Anders Björner and Gil Kalai. “Extended Euler-Poincaré relations for cell complexes”. In: Applied geometry and discrete mathematics. Vol. 4. DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991, pp. 81–89.

[Flø06]

Gunnar Fløystad. “Cohen-Macaulay cell complexes”. In: Algebraic and geometric combinatorics. Vol. 423. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 205–220. arXiv: math/0502541. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/423/08079.

[Her]

Patricia Hersh. Regular cell complexes in total positivity. arXiv: 0711.1348.

[Koz08]

Dmitry Kozlov. Combinatorial algebraic topology. Vol. 21. Algorithms and Computation in Mathematics. Berlin: Springer, 2008, pp. xx+389. isbn: 978-3-540-71961-8. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5.

[LW69]

Albert T. Lundell and Stephen Weingram. Topology of CW-Complexes. New York: Van Nostrand Reinhold, 1969, pp. viii+216.

[Mnë]

Nikolai Mnëv. Combinatorial fiber bundles and fragmentation of a fiberwise PL-homeomorphism. arXiv: 0708.4039.

[Tam18]

Dai Tamaki. “Cellular stratified spaces”. In: Combinatorial and toric homotopy. Vol. 35. Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2018, pp. 305–435. arXiv: 1609.04500.