Small Categories with Rank Functions

(有限) poset の一般化として, rank function を持つ small category が色々考えられている。

Bessis の [Bes] で定義されている atomic category という概念は, Hasse diagram の類似を持つと言う点で poset に近い。 Homogeneous atomic category は rank function に類似の関数を持つ点で, 一層 poset に近い。

• atomic category
• atomic category のグラフ
• homogeneous atomic category

Rank function の類似の関数を持つものとしては, Borisov の [Bor] にある nested graph もある。Noguchi [Nog11; Nog13] は \(\N \)-filtered acyclic category という用語を用いている。 Hoffman [Hof] の考えている updown category という構造も rank function を持つ category の一種である。 他にも Möbius category というものもある。

• nested graph
• \(\N \)-filtered acyclic category
• updown category
• Möbius category

Möbius category は, Leroux により locally finite posets, Cartier-Foata finite-decomposition monoid, free category などの共通の一般化として導入されたものである。元の論文は, [BE75] の pp. 280–282 に収録されている。 詳しい内容は, Content と Lemay との共著 [CLL80] にある。 他の文献としては, Leroux の論文 [Ler82] や Leinster の論文 [Lei12] がある。

また, \(\infty \)-category 版が, Gálvez-Carillo, Kock, Tonks [GKT18a; GKT18b] により導入されている。Carlier [Car20] が調べている。

\(\N ^k\) に値を持つ rank function を持つものは, Kumjian と Pask [KP00] で \(k\)-graph という名前で呼ばれている。 \(k\)-ranked category と呼んだ方が良いと思うが。

• higher-rank graph (higher ranked category)

Hazlewood, Raeburn, Sims, Webster の [Haz+13] によると, higher ranked category に対して, その生成系となる colored quiver を考えたのは, Fowler と Sims [FS02] らしい。

Kumjian と Pask は, その \(C^*\)-algebra を考えている。また Sims との [KPS12] によると, “geometric realization” も考えていて, \(\N ^k\) で rank の付いた small category の代数的トポロジー的な研究を行なっているようである。例えば, その fundamental groupoid については [PQR04] で, covering については, [PQR05] で調べられている。 [Kal+16] では, 幾何学的実現の基本群と \(k\)-graph の基本群が同型 になることが示されている。 [GK18] では, コホモロジーを考えている。

References

[BE75]

A. Bastiani and C. Ehresmann, eds. Deuxième Colloque sur l’Algèbre des Catégories. Tenu à Amiens le 7 au 12 Juillet, 1975, Résumés des Conférences, Cahiers Topologie Géom. Différentielle 16 (1975), no. 3 (1976). Paris: Centre National de la Recherche Scientifique, 1975, pp. 217–340.

[Bes]

David Bessis. Garside categories, periodic loops and cyclic sets. arXiv: math/0610778.

[Bor]

Dennis Borisov. Higher dimensional operads. arXiv: 0909.2534.

[Car20]

Louis Carlier. “Incidence bicomodules, Möbius inversion and a Rota formula for infinity adjunctions”. In: Algebr. Geom. Topol. 20.1 (2020), pp. 169–213. arXiv: 1801.07504. url: https://doi.org/10.2140/agt.2020.20.169.

[CLL80]

Mireille Content, François Lemay, and Pierre Leroux. “Catégories de Möbius et fonctorialités: un cadre général pour l’inversion de Möbius”. In: J. Combin. Theory Ser. A 28.2 (1980), pp. 169–190. url: http://dx.doi.org/10.1016/0097-3165(80)90083-7.

[FS02]

Neal J. Fowler and Aidan Sims. “Product systems over right-angled Artin semigroups”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 354.4 (2002), 1487–1509 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-01-02911-7.

[GK18]

Elizabeth Gillaspy and Alexander Kumjian. “Cohomology for small categories: \(k\)-graphs and groupoids”. In: Banach J. Math. Anal. 12.3 (2018), pp. 572–599. arXiv: 1511.01073. url: https://doi.org/10.1215/17358787-2017-0041.

[GKT18a]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. “Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion I: Basic theory”. In: Adv. Math. 331 (2018), pp. 952–1015. arXiv: 1512.07573. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.03.016.

[GKT18b]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. “Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion II: Completeness, length filtration, and finiteness”. In: Adv. Math. 333 (2018), pp. 1242–1292. arXiv: 1512.07577. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.03.017.

[Haz+13]

Robert Hazlewood, Iain Raeburn, Aidan Sims, and Samuel B. G. Webster. “Remarks on some fundamental results about higher-rank graphs and their \(C^*\)-algebras”. In: Proc. Edinb. Math. Soc. (2) 56.2 (2013), pp. 575–597. arXiv: 1110.2269. url: https://doi.org/10.1017/S0013091512000338.

[Hof]

Michael E. Hoffman. Updown Categories. arXiv: math/0402450.

[Kal+16]

S. Kaliszewski, Alex Kumjian, John Quigg, and Aidan Sims. “Topological realizations and fundamental groups of higher-rank graphs”. In: Proc. Edinb. Math. Soc. (2) 59.1 (2016), pp. 143–168. arXiv: 1205.2858. url: https://doi.org/10.1017/S0013091515000061.

[KP00]

Alex Kumjian and David Pask. “Higher rank graph \(C^{*}\)-algebras”. In: New York J. Math. 6 (2000), pp. 1–20. arXiv: math/0007029. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2000/6_1.html.

[KPS12]

Alex Kumjian, David Pask, and Aidan Sims. “Homology for higher-rank graphs and twisted \(C^\ast \)-algebras”. In: J. Funct. Anal. 263.6 (2012), pp. 1539–1574. arXiv: 1110.1433. url: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2012.05.023.

[Lei12]

Tom Leinster. “Notions of Möbius inversion”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 19.5 (2012), pp. 911–935. arXiv: 1201.0413.

[Ler82]

Pierre Leroux. “The isomorphism problem for incidence algebras of Möbius categories”. In: Illinois J. Math. 26.1 (1982), pp. 52–61.

[Nog11]

Kazunori Noguchi. “The Euler characteristic of acyclic categories”. In: Kyushu J. Math. 65.1 (2011), pp. 85–99. arXiv: 1004.2547. url: http://dx.doi.org/10.2206/kyushujm.65.85.

[Nog13]

Kazunori Noguchi. “Euler characteristics of categories and barycentric subdivision”. In: Münster J. Math. 6.1 (2013), pp. 85–116. arXiv: 1104.3630.

[PQR04]

David Pask, John Quigg, and Iain Raeburn. “Fundamental groupoids of \(k\)-graphs”. In: New York J. Math. 10 (2004), 195–207 (electronic). arXiv: math/0401016. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2004/10_195.html.

[PQR05]

David Pask, John Quigg, and Iain Raeburn. “Coverings of \(k\)-graphs”. In: J. Algebra 289.1 (2005), pp. 161–191. arXiv: math.OA/0401017. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2005.01.051.