Generalizations and Variations of Enriched Categories

Monoidal category には 様々な一般化が知られているので, それらに対応して enriched category の一般化も考えられている。

例えば, 同時に複数の object の \(\otimes \) を取る構造として lax monoidal category や oplax monoidal category という構造があるが, lax monoidal category により enrich された category は, Batanin と Weber の [BW11] で定義されている。 一方, oplax monoidal category で enrich された category は, Basile, Lejay, Morand の [BLM] で定義されている。

Symmetric monoidal category の category で enrich された bicategory は, Guillou の [Gui10] で調べられている。

Batanin と Markl [BM12] によると, enriched category の monoidal structure を考えるためには, 2つの monoidal structure を持つ duoidal category による enrichment を考えるのがよいようである。

また, object が1つの bicategory が monoidal category であることから, bicategory で enrich された category を考えることもできる。これは, Street の [Str05] によると, かなり古く (80年代) から考えられてきたようである。例えば, Walter の [Wal82] や Betti と Carboni の [BC82] などがある。更に, そのような構造が最初に現れたのは Bénabou の polyad [Bén67] らしい。

• bicategory で enrich された category

文献としては, 上記のものの他には, Kelly, Labella, Schmitt, Street の [Kel+02] がある。

別の方向として, enrich される category を bicategory にする, というものがある。特別な場合として, enrich された monoidal category が考えられる。

• enriched monoidal category

Campbell [Cam18] は, skew-monoidal category で enrich された category を考えるために, skew-enriched category の概念を導入した。

• skew-enriched category

より一般に monoidal bicategory で enrich された bicategory を考えることもできる。Hoffnung の [Hof] など。

• enriched bicategory

Monoidal bicategory による enrichment を, 高次の圏のモデルを構成するために使おうとしているのは, Cheng と Gurski [CG14] である。Strict 2-category が small category の category で enrich された category であることから, weak enrichment を取る操作を繰り替えせれば, 高次の圏が構成できる。その際に Lack の導入した icon という概念を用いている。

現代的な扱いとしては, Bacard の [Bacb] の方向がよいのだろうか。 Bicategory の中で weak equivalence の class を定義し, そのデータを用いた bicategory で enrich された category を考えている。 Leinster の homotopy monoid や Segal category などをこの枠組みで扱えるらしい。

Bacard は, 更に [Baca] で monoidal model category で weakly enriched された category を考えている。 Monoidal model category で enrich された category の代表は simplicial category であり, そのホモトピー論は Dwyer と Kan の研究 [DK80c; DK80a; DK80b] を元によく研究されている。一般の monoidal model category で enrich された category のホモトピー論も同様に構築できるはずである。そのような方向での研究として Lack と Rosicky の [LR16] がある。 彼等は, homotopy weighted (co)limit などの概念を導入している。

別の方向の一般化としては, 「object 全体」が enrich している monoidal category \(\bm {V}\) の object になっているようなものがある。例えば, \(\bm {V}\) が位相空間の圏 \(\category {Top}\) の場合は, topological category である。 ただし, topological category と言ったときには, \(\category {Top}\) で enrich されたものを指すときも多いので注意が必要である。 一般的には, internal category という概念がある。

• internal category

一般化ではなく, 双対ともいうべき構造が Vasilakopoulou [Vas19] により導入されている。Morphism の合成ではなく, morphism の分解ができるもので, \(\bm {V}\)-cocategory と呼ばれている。

• \(\bm {V}\)-cocategory

References

[Baca]

Hugo V. Bacard. Lax Diagrams and Enrichment. arXiv: 1206.3704.

[Bacb]

Hugo V. Bacard. Segal Enriched Categories I. arXiv: 1009.3673.

[BC82]

R. Betti and A. Carboni. “Cauchy-completion and the associated sheaf”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 23.3 (1982), pp. 243–256.

[Bén67]

Jean Bénabou. “Introduction to bicategories”. In: Reports of the Midwest Category Seminar. Berlin: Springer, 1967, pp. 1–77.

[BLM]

Thomas Basile, Damien Lejay, and Kevin Morand. Categories enriched over oplax monoidal categories. arXiv: 2204.01032.

[BM12]

Michael Batanin and Martin Markl. “Centers and homotopy centers in enriched monoidal categories”. In: Adv. Math. 230.4-6 (2012), pp. 1811–1858. arXiv: 1109.4084. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.04.011.

[BW11]

Michael Batanin and Mark Weber. “Algebras of higher operads as enriched categories”. In: Appl. Categ. Structures 19.1 (2011), pp. 93–135. arXiv: 0803.3594. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9179-7.

[Cam18]

Alexander Campbell. “Skew-enriched categories”. In: Appl. Categ. Structures 26.3 (2018), pp. 597–615. arXiv: 1709 . 01222. url: https://doi.org/10.1007/s10485-017-9504-0.

[CG14]

Eugenia Cheng and Nick Gurski. “Iterated icons”. In: Theory Appl. Categ. 29 (2014), pp. 929–977. arXiv: 1308.6495.

[DK80a]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Calculating simplicial localizations”. In: J. Pure Appl. Algebra 18.1 (1980), pp. 17–35. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90113-9.

[DK80b]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Function complexes in homotopical algebra”. In: Topology 19.4 (1980), pp. 427–440. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(80)90025-7.

[DK80c]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Simplicial localizations of categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 17.3 (1980), pp. 267–284. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(80)90049-3.

[Gui10]

Bertrand J. Guillou. “Strictification of categories weakly enriched in symmetric monoidal categories”. In: Theory Appl. Categ. 24 (2010), No. 20, 564–579. arXiv: 0909.5270.

[Hof]

Alexander E. Hoffnung. The Hecke Bicategory. arXiv: 1007.1931.

[Kel+02]

Max Kelly, Anna Labella, Vincent Schmitt, and Ross Street. “Categories enriched on two sides”. In: J. Pure Appl. Algebra 168.1 (2002), pp. 53–98. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(01)00048-2.

[LR16]

Stephen Lack and Jiří Rosický. “Homotopy locally presentable enriched categories”. In: Theory Appl. Categ. 31 (2016), Paper No. 25, 712–754. arXiv: 1311.3712.

[Str05]

Ross Street. “Enriched categories and cohomology”. In: Repr. Theory Appl. Categ. 14 (2005). Reprinted from Quaestiones Math. 6 (1983), no. 1-3, 265–283 [MR0700252], with new commentary by the author, pp. 1–18.

[Vas19]

Christina Vasilakopoulou. “Enriched duality in double categories: \(\cV \)-categories and \(\cV \)-cocategories”. In: J. Pure Appl. Algebra 223.7 (2019), pp. 2889–2947. arXiv: 1704.00329. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2018.10.003.

[Wal82]

R. F. C. Walters. “Sheaves on sites as Cauchy-complete categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 24.1 (1982), pp. 95–102. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(82)90061-5.