Internal Categories

Small category \(C\) で, 2つの object \(x\) と \(y\) の間の morphism の集合 \(C(x,y)\) に位相空間や加群の構造を持つものは, 様々な場面で登場する。 そのようなものを扱うために考えられたのが, enriched category の概念である。

• enriched category

更に object object の集合 \(C_{0}\) にも構造が入る場合がある。 最も単純なのは, \(C_{0}\) も morphism 全体の集合 \(C_{1}\) も同じ category \(\bm {V}\) の object になっている場合であり, small category の定義を元を取らないで可換図式で表したときの図式が, \(\bm {V}\) で可換になっているものである。すなわち, \(\bm {V}\) での “category object” のことである。

• internal category

その際, morphism の合成の定義域として, pullback \[ \xymatrix { C_{1}\times _{C_{0}}C_{1} \ar [d] \ar [r] & C_{1} \ar [d]^{t} \\ C_{1} \ar [r]_{s} & C_{0} } \] で定義される object \(C_{1}\times _{C_{0}}C_{1}\) が必要になる。

nLab のページによると, このような internal category が最初に登場したのは, Grothendieck の [Gro95] のようである。

ホモトピー論では \(\bm {V}\) が位相空間の圏 \(\category {Top}\) の場合が topological category の名前で使われるが, \(\category {Top}\) で enrich された圏も topological category という名前で使われることが多く, 紛らわしい。

• topological category

Dan Kan の薫陶を受けた人達は, simplicial set を space と呼んで位相空間の代りに使っているので, simplicial set の圏での internal category を考える人がいても不思議ではないが, 意外とそのような試みは少ない。 私の目にしたものでは, Horel の [Hor15] ぐらいしかない。

一般化としては, まず Aguiar [Agu97] によるものがある。 \(\bm {V}\) として加群の圏のようなものを考えるときには, 直積ではなく tensor product を使うべきで, そのときには “object の集合” を comonoid object, source map と target map を comodule structure \[ \begin {split} s & : C_{1} \rarrow {} C_{1}\otimes C_{0} \\ t & : C_{1} \rarrow {} C_{0}\otimes C_{1} \end {split} \] で定義すべきである。よって \(C_{1}\) は \(C_{0}\)-\(C_{0}\)-bicomodule になる。 そして cotensor product を用いて定義した \(C_{1}\Box _{C_{0}}C_{1}\) を morphism の合成の定義域とする。

• internal category in the sense of Aguiar

この視点に基づいた Grothendieck construction については, [Tam] に書いた。

他の一般化としては, Martins Ferreira の pseudo-category [Mar06] がある。

References

[Agu97]

Marcelo Aguiar. Internal categories and quantum groups. Thesis (Ph.D.)–Cornell University. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1997, p. 295. isbn: 978-0591-54970-6.

[Gro95]

Alexander Grothendieck. “Techniques de construction et théorèmes d’existence en géométrie algébrique. III. Préschemas quotients”. In: Séminaire Bourbaki, Vol. 6. Paris: Soc. Math. France, 1995, Exp. No. 212, 99–118. url: https://www.numdam.org/item/SB_1960-1961__6__99_0/.

[Hor15]

Geoffroy Horel. “A model structure on internal categories in simplicial sets”. In: Theory Appl. Categ. 30 (2015), Paper No. 20, 704–750. arXiv: 1403.6873.

[Mar06]

N. Martins-Ferreira. “Pseudo-categories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 1.1 (2006), pp. 47–78. arXiv: math/0604549.

[Tam]

Dai Tamaki. The Grothendieck construction and gradings for enriched categories. arXiv: 0907.0061.