Weak Factorization Systems

モデル圏の定義の中には, morphism の lifting と factorization に関する条件が登場する。というより, その2つが本質的である。そのような構造として, 圏論で導入された factorization system という概念があるが, そこでは lifting の一意性が要求されている。 モデル圏の定義で登場するものは, 一意性仮定しないが, そのようなものには weak factorization system という名前がついている。

その条件は, 恐らく, Beke の [Bek00] で最初に登場したのだと思うが, そこでは weak factorization system という言葉は使われていない。 Adamek らの [Adá+02] では weak factorization system という用語が登場し, そこでは Beke の論文が参照されているので, この Adamek らの論文で導入された言葉なのだろう。

Riehl の [Rie11] によると, Grandis と Tholen の natural weak factorization system [GT06] は weak factorization system の cofibration や fibration に対応する morphism の class が colimit や limit で閉じているとは限らないという欠点を改良するために導入された。 現在では, algebraic weak factorization system と呼ぶことの方が多いような気がする。

• natural weak factorization system あるいは algebraic weak factorization system

その定義は monad と comand を使うものであるが, それらを使わない同値な定義が Rourke [Bou] で提案されている。

Riehl は, algebraic weak factorization system の概念に基づき algebraic model structure という model structure を定義している。

• algebraic model structure

Hess ら [Hes+17] は, 更に accessible algebraic weak factorization system の概念を導入し, accessible model structure を定義している。

• accessible algebraic weak factorization system
• accessible model structure

Relative cell complex の概念との関係については, Athorne の [Ath12] で考察されている。

モデル圏の構造を定義するときに cofibrantly generated であると small object argument が使えることから, Garner は [Gar] で, “cofibrantly generated” なものを考えている。

• cofibrantly generated algebraic weak factorization system

そして [Gar09b] で, small object argument の改良版を得ている。このように, モデル圏になっていなくても weak factorization system があるだけで, 結構色々できるようである。Garner は [Gar09a] では, cofibrant replacement により operad などの構造を弱めることを考えている。

その双対である fibrantly generated weak factorization system は Cox と Rosický の [CR] で使われている。

• fibrantly generated algebraic weak factorization system

Gambino と Garner の [GG08] によると, 数理論理学での identity type に関係した圏が weak factorization system を持ち, それは, groupoid の圏の model structure と関係あるようである。

Hovey による Abelian model structure と cotorsion pair の pair の関係から, Gillespie [Gil15] が cotorsion pair の compatible pair の概念を導入し, それから Abelian model structure が得られることを示しているが, それを weak factorization system に一般化したものとして, Di, Li, Liang [DLL] が weak factorization system の compatible pair の概念を導入している。

References

[Adá+02]

J. Adámek, H. Herrlich, J. Rosický, and W. Tholen. “On a generalized small-object argument for the injective subcategory problem”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 43.2 (2002), pp. 83–106.

[Ath12]

Thomas Athorne. “The coalgebraic structure of cell complexes”. In: Theory Appl. Categ. 26 (2012), No. 11, 304–330. arXiv: 1202.6034.

[Bek00]

Tibor Beke. “Sheafifiable homotopy model categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 129.3 (2000), pp. 447–475. arXiv: math/0102087. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100004722.

[Bou]

John Bourke. An orthogonal approach to algebraic weak factorisation systems. arXiv: 2204.09584.

[CR]

Sean Cox and Jiří Rosický. Fibrantly generated weak factorization systems. arXiv: 2201.06782.

[DLL]

Zhenxing Di, Liping Li, and Li Liang. Compatible weak factorization systems and model structures. arXiv: 2405.00312.

[Gar]

Richard Garner. Cofibrantly generated natural weak factorisation systems. arXiv: math/0702290.

[Gar09a]

Richard Garner. “A homotopy-theoretic universal property of Leinster’s operad for weak \(\omega \)-categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 147.3 (2009), pp. 615–628. arXiv: 0804.2663. url: http://dx.doi.org/10.1017/S030500410900259X.

[Gar09b]

Richard Garner. “Understanding the small object argument”. In: Appl. Categ. Structures 17.3 (2009), pp. 247–285. arXiv: 0712. 0724. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9137-4.

[GG08]

Nicola Gambino and Richard Garner. “The identity type weak factorisation system”. In: Theoret. Comput. Sci. 409.1 (2008), pp. 94–109. arXiv: 0803.4349. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2008.08.030.

[Gil15]

James Gillespie. “How to construct a Hovey triple from two cotorsion pairs”. In: Fund. Math. 230.3 (2015), pp. 281–289. arXiv: 1406. 2619. url: https://doi.org/10.4064/fm230-3-4.

[GT06]

Marco Grandis and Walter Tholen. “Natural weak factorization systems”. In: Arch. Math. (Brno) 42.4 (2006), pp. 397–408.

[Hes+17]

Kathryn Hess, Magdalena Kȩdziorek, Emily Riehl, and Brooke Shipley. “A necessary and sufficient condition for induced model structures”. In: J. Topol. 10.2 (2017), pp. 324–369. arXiv: 1509. 08154. url: https://doi.org/10.1112/topo.12011.

[Rie11]

Emily Riehl. “Algebraic model structures”. In: New York J. Math. 17 (2011), pp. 173–231. arXiv: 0910 . 2733. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2011/17_173.html.