Deformation Theory

Deformation theory とは何だろうか。 その名前からは, 数学的構造の変形を研究するものは, 何でも deformation theory と呼んでいいような気がする。実際, Kontsevich と Soibelman が執筆中の deformation theory についての本の草稿 [KS] によると, Gel\('\)fand は,「数学のどの分野もある意味では deformation theory である」と言っていたらしい。

Kontsevich と Soibelman の本による定義は, 次のものである。

• Deformation theory とは, 数学的構造の moduli space の研究である。

もちろん, これではあまりにも大雑把すぎる。具体的な条件としては, Gerstenhaber の [Ger64] の Introduction に, 4つの条件が書いてある。その内の一つは, 上記の moduli space に関する条件であるが, 他に代数的トポロジーと関係の深い条件として, formal deformation やその integrability の obstruction などが, 適当なコホモロジー論で記述できるというものがある。 Gerstenhaber の調べた associative algebra の deformation theory では, Hochschild cohomology がその cohomology theory である。Gerstenhaber は, [Ger63] で調べた associative algebra の Hochschild cohomology の持つ構造が, deformation theory と関係していることを示した。

• 各種代数的構造の deformation theory

Gerstenhaber の [Ger64] は, 複素多様体の複素構造の deformation, つまり Kodaira-Spencer の理論を強く意識して書かれている。 複素多様体の deformation については, もちろん Kodaira の本 [Kod86] があるが, Manetti の lecture note [Man04] もある。

Nijenhuis と Richardson の [NR66] には, Gerstenhaber の algebra の deformation theory と Kodaira-Spencer 理論の共通点として graded Lie algebra があることが指摘されている。現在では, differential graded Lie algebra や \(L_{\infty }\)-algebra が deformation theory で重要な役割を果している。

Kontsevich と Soibelman の本によると, 代数幾何学的には (Grothendieck流には), deformation problem に対しては, Lie algebra の sheaf を考えるが, その sheaf から differential graded Lie algebra \(\mathfrak {g}\) ができ, そこから, Artinian algebra の圏から groupoid の圏への関手 \[ \mathcal {C}_{\mathfrak {g}} : \category {Artinian} \longrightarrow \category {Groupoid} \] ができる, という仕組みらしい。 この groupoid は, Deligne groupoid と呼ばれている。

• Deligne groupoid

この groupoid は, Goldman と Millson の[GM88] に登場したのが最初のようであるが, Deligne の名前がついているのは, differential graded Lie algebra を用いて deformation theoryを考えるという視点を導入したのが, Deligne だからのようである。 Schlessigner と Stasheff の [SS] によると, Goldman と Millson への手紙の中で, deformation theory のどんな問題も differential graded Lie algebra で control されるということを主張したらしい。

DG category の object の deformation theory を考えているのは Efimov と Lunts と Orlov [ELO09; ELO10; ELO11] である。

やはりこれら最近の話題は, Kontsevich のアイデアに因るところが大きいようである。 Kontsevich は, mirror symmetry などに関係して deformation theory を調べていたようである。Mirror symmetry と deformation theory の関係については, Merkulov の [Mer00] の Introduction が分りやすい。

Abelian category の deformation を考えることもできる。Lowen と Van den Bergh の試み [LV06; LV05] がある。彼等の目的の一つは, 非可換代数幾何への応用である。

Lowen は, [Low08] で, その Abelian category の deformation theory が 「algebroid prestack を用いて smooth algebraic variety の deformation quantization を考える」という Kontsevich のアイデアにうまく合うことを主張している。

Lowen によると, algebroid prestack は, gerbe の linear analogue と考えるべきものらしい。Lowen の上記の論文に, algebroid prestack についての詳しい説明がある。

Gainutdinov ら [GHS23; FGS] によると, monoidal category の deformation theory の研究は, Davydov [Dav], Crane, Yetter [CY98; Yet98; Yet03] により始められたようである。 対応する cohomology theory は Davydov-Yetter cohomology と呼ばれている。

• Davydov-Yetter cohomology

Gainutdinov らは, Etingof, Gelaki, Nikshych, Ostrik の tensor category の本 [Eti+15] の §7.22 を参照している。

References

[CY98]

L. Crane and D. N. Yetter. “Deformations of (bi)tensor categories”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 39.3 (1998), pp. 163–180. arXiv: q-alg/9612011.

[Dav]

A. A. Davydov. Twisting of monoidal structures. arXiv: q-alg/ 9703001.

[ELO09]

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[ELO10]

Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. “Deformation theory of objects in homotopy and derived categories. II. Pro-representability of the deformation functor”. In: Adv. Math. 224.1 (2010), pp. 45–102. arXiv: math / 0702839. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2009.11.004.

[ELO11]

Alexander I. Efimov, Valery A. Lunts, and Dmitri O. Orlov. “Deformation theory of objects in homotopy and derived categories III: Abelian categories”. In: Adv. Math. 226.5 (2011), pp. 3857–3911. arXiv: math/0702840. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.11.003.

[Eti+15]

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. Tensor categories. Vol. 205. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2015, pp. xvi+343. isbn: 978-1-4704-2024-6. url: https://doi.org/10.1090/surv/205.

[FGS]

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[Ger63]

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[Ger64]

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[GHS23]

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[GM88]

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[Kod86]

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[KS]

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[Low08]

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[LV05]

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[Man04]

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[Mer00]

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[NR66]

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[SS]

Mike Schlessinger and Jim Stasheff. Deformation theory and rational homotopy type. arXiv: 1211.1647.

[Yet03]

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[Yet98]

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