可換な幾何学と非可換幾何学での対応する概念

非可換幾何学を理解するためには, 当然であるが, 可換な幾何学と比較しながら勉強するしかない。 可換な幾何学と非可換幾何学の間の辞書は様々なところに書かれているので, まずその対応を理解すべきである。

例えば, Khalkhali の [Kha] の6ページに表がある。

• Gel\('\)fand-Naimark duality
• Compact Hausdorff space または affine algebraic variety 上の vector bundle とその関数環上の有限生成 projective module
• Measure theory と von Neumann algebra
• Riemannian \(\mathrm{Spin}_c\) 多様体と spectral triple
• 多様体上の elliptic operator と Fredholm module [Kas80]
• 微分形式や de Rham cohomology と可微分関数の成す環の Hochschild homology や cyclic homology ([Con85])

Fredholm module については, Puschnigg の [Pus] の最初に簡潔にまとめられている。

Connesの 微分形式と Hochschild homology の対応の元になっているのは, Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem [HKR62] と呼ばれる代数的な version である。

• Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem

一方で, 正標数の体上の schemeの de Rham cohomology は微分形式の空間と, Cartier isomorphism という同型により同一視できるらしい。Kaledin [Kal] は, これの可換とは限らない associative algebra の Hochschild homology への一般化を考えている。

また Connes の同型は, Brasselet と Pflaum による Whitney function のなす環への一般化 [BP08] とその Meyer による拡張 [Mey10] がある。

複素多様体の非可換版としては, Beggs と Smith の [BS] などがある。

Poincaré duality の非可換版としては, まず Van den Bergh の [Ber98; Ber02] がある。それを元に, Kustermans と Murphy と Tuset の [KMT03] や Krähmer の [Krä] など が考えられている。

群 (位相群) の非可換版としてすぐ思いつくのは, Hopf algebra であるが, 非可換幾何学の観点からはいろいろ不都合があるらしい。Tang と Weinstein と Zhu は [TWZ07]で Hopfish algebra という概念を提案している。 よく使われるのは, 量子群だろうが。

群の類似があると, 群作用や principal bundle の類似も考えたくなる。

• 量子群の作用

非可換幾何における bundle についての survey として, Baum, Hajac, Matthes, Szymanski の[Bau+] がある。Kassel に よる principal bundle についての講義録 [Kas] もある。

非可換ホモトピー論と呼ぶべきものも少しづつ構築されてきているようである。 通常のホモトピー論との対応については次に書いた。

• 非可換ホモトピー論

空間に対する様々な操作に対応する代数の操作, つまり可換環に対する操作の非可換環での類似があるとうれしい。 例えば, 空間の直積に対応するのは, 関数環の tensor product である。Noncommutative space の積として, tensor product を考えるというのは素朴なアイデアであるが, 残念ながらそのような 「可換な積」ではダメである。代りに twisted tensor product を使うとよいらしい。Peña は [Per] で twisted tensor product 上の connection と curvature について考えている。それによると, 代数的に connection を定義したのは, Koszul [Kos65] らしい。

Join については, Dabrowski, Hadfield, Hajac [DHH] がある。

Kaminker と Schochet [KS] は, Spanier-Whitehead dual の類似を提案している。

• Spanier-Whitehead \(K\)-duality

また [Jar+08] では, 3個以上の noncommutative space の積を考えるために, iterated twisted tensor product が考えられている。

• algebra の twisted tensor product
• noncommutative torus は commutative \(S^1\) の twisted tensor product

Kapranov は, [Kap09] で noncommutative Fourier transform を考えている。Chen の iterated path integral や path space の Wiener measure と関係あるらしい。

多様体上の微分作用素の非可換版にはいくつかの候補があるが, そのどれも満足いくものではないと言っているのは, Sardanashvily [Sar] である。Ginzburg と Schedler [GS10] によると, 可換環上の tensor algebra のような twisted commutative algebra 上では微分作用素の理論が展開できるらしいが, 非可換幾何学のためにはそれでは不十分らしい。彼らは wheeled PROP 上の differential operator を考えることを提案している。また vector field の類似としては, double derivation を考えるとよいようである。

• double derivation

References

[Bau+]

Paul F. Baum, Piotr M. Hajac, Rainer Matthes, and Wojciech Szymanski. Noncommutative Geometry Approach to Principal and Associated Bundles. arXiv: math/0701033.

[Ber02]

Michel van den Bergh. “Erratum to: “A relation between Hochschild homology and cohomology for Gorenstein rings” [Proc. Amer. Math. Soc. 126 (1998), no. 5, 1345–1348; MR1443171 (99m:16013)]”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 130.9 (2002), 2809–2810 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-02-06684-4.

[Ber98]

Michel van den Bergh. “A relation between Hochschild homology and cohomology for Gorenstein rings”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 126.5 (1998), pp. 1345–1348. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-98-04210-5.

[BP08]

Jean-Paul Brasselet and Markus J. Pflaum. “On the homology of algebras of Whitney functions over subanalytic sets”. In: Ann. of Math. (2) 167.1 (2008), pp. 1–52. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2008.167.1.

[BS]

Edwin Beggs and S. Paul Smith. Noncommutative complex differential geometry. arXiv: 1209.3595.

[Con85]

Alain Connes. “Noncommutative differential geometry”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 62 (1985), pp. 257–360. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1985__62__257_0.

[DHH]

Ludwik Dabrowski, Tom Hadfield, and Piotr M. Hajac. Equivariant Join and Fusion of Noncommutative Algebras. arXiv: 1407.6020.

[GS10]

Victor Ginzburg and Travis Schedler. “Differential operators and BV structures in noncommutative geometry”. In: Selecta Math. (N.S.) 16.4 (2010), pp. 673–730. arXiv: 0710.3392. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-010-0029-8.

[HKR62]

G. Hochschild, Bertram Kostant, and Alex Rosenberg. “Differential forms on regular affine algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 102 (1962), pp. 383–408. url: https://doi.org/10.2307/1993614.

[Jar+08]

Pascual Jara Martı́nez, Javier López Peña, Florin Panaite, and Freddy van Oystaeyen. “On iterated twisted tensor products of algebras”. In: Internat. J. Math. 19.9 (2008), pp. 1053–1101. arXiv: math/0511280. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X08004996.

[Kal]

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[Kap09]

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[Kas]

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[Kas80]

G. G. Kasparov. “The operator \(K\)-functor and extensions of \(C^*\)-algebras”. In: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 44.3 (1980), pp. 571–636, 719.

[Kha]

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[KMT03]

J. Kustermans, G. J. Murphy, and L. Tuset. “Differential calculi over quantum groups and twisted cyclic cocycles”. In: J. Geom. Phys. 44.4 (2003), pp. 570–594. arXiv: math/0110199. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0393-0440(02)00115-8.

[Kos65]

J.-L. Koszul. Lectures on fibre bundles and differential geometry. Notes by S. Ramanan. Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, No. 20. Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, 1965, pp. ii+130+iii.

[Krä]

Ulrich Krähmer. On the Hochschild (co)homology of Quantum Homogeneous Spaces. arXiv: 0806.0267.

[KS]

Jerome Kaminker and Claude L. Schochet. Spanier-Whitehead K-duality for \(C^*\)-algebras. arXiv: 1609.00409.

[Mey10]

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[Per]

Grisha Perelman. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv: math/0211159.

[Pus]

Michael Puschnigg. Characters of Fredholm modules and a problem of Connes. arXiv: math/0604528.

[Sar]

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[TWZ07]

Xiang Tang, Alan Weinstein, and Chenchang Zhu. “Hopfish algebras”. In: Pacific J. Math. 231.1 (2007), pp. 193–216. arXiv: math/0510421. url: http://dx.doi.org/10.2140/pjm.2007.231.193.