Categorical Measure Theory

Measure theory は, category theory を使ったアプローチもある。 Wendt の [Wen94; Wen96] や Rodrigues の [Rod]など。 Math Overflow でも 質問が出ている。 それに回答しているのは Rodrigues である。

他にも, \(n\)-Category Café で Leinster が書いているもの [Caf] がある。

Measurable space の category を特徴付けることを考えている人もいる。 Sturtz [Stu] や Avery [Ave16] は, Giry monad を使うことを考えている。

• Giry monad

Jamneshan と Tao [JT; Jam] は topos を使うことを提案している。

Staton ら [Heu+17; Ści+; Sab+] による quasi-Borel space という概念もある。Measurable space の category が Cartesian closed でないことを改良したもののようである。更に, complete かつ cocomplete にしたものとして, Forré の quasi-measurable space の category [For] がある。

• quasi-Borel space
• quasi-measurable space

Category theory との関連では, 線形代数の categorification へのアプローチである, Yetter の measurable category [Yet05] もある。

References

[Ave16]

Tom Avery. “Codensity and the Giry monad”. In: J. Pure Appl. Algebra 220.3 (2016), pp. 1229–1251. arXiv: 1410 . 4432. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2015.08.017.

[Caf]

The \(n\)-Category Café. The Categorical Origins of Lebesgue Integration. url: https://golem.ph.utexas.edu/category/2014/07/the_categorical_origins_of_leb.html.

[For]

Patrick Forré. Quasi-Measurable Spaces. arXiv: 2109.11631.

[Heu+17]

Chris Heunen, Ohad Kammar, Sam Staton, and Hongseok Yang. “A convenient category for higher-order probability theory”. In: 2017 32nd Annual ACM/IEEE Symposium on Logic in Computer Science (LICS). IEEE, [Piscataway], NJ, 2017, p. 12. arXiv: 1701.02547.

[Jam]

Asgar Jamneshan. An uncountable Furstenberg-Zimmer structure theory. arXiv: 2103.17167.

[JT]

Asgar Jamneshan and Terence Tao. Foundational aspects of uncountable measure theory: Gelfand duality, Riesz representation, canonical models, and canonical disintegration. arXiv: 2010.00681.

[Rod]

G. Rodrigues. Categorifying measure theory: a roadmap. arXiv: 0912.4914.

[Sab+]

Marcin Sabok, Sam Staton, Dario Stein, and Michael Wolman. Probabilistic Programming Semantics for Name Generation. arXiv: 2007.08638.

[Ści+]

Adam Ścibior et al. Denotational validation of higher-order Bayesian inference. arXiv: 1711.03219.

[Stu]

Kirk Sturtz. Categorical Probability Theory. arXiv: 1406.6030.

[Wen94]

Michael Wendt. “The category of disintegration”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég. 35.4 (1994), pp. 291–308.

[Wen96]

Michael A. Wendt. “Measurable Hilbert sheaves”. In: J. Austral. Math. Soc. Ser. A 61.2 (1996), pp. 189–215.

[Yet05]

D. N. Yetter. “Measurable categories”. In: Appl. Categ. Structures 13.5-6 (2005), pp. 469–500. arXiv: math / 0309185. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-005-9003-6.