グラフの zeta関数

グラフに対しては, zeta関数を定義することもできる。

グラフの zeta関数の歴史的経緯について, 以下のように砂田利一先生から e-mail により教えていただいた:

1. Ihara [Iha66] は \(p\)-進群 \(\SL _2(\Q _p)\) に付随する Selberg 型のゼータ関数を定義し, その行列式表示を用いて, このゼータ関数が 有理関数であることを証明した。
2. Serre は, 著書 “Trees” [Ser03] の序の中で, Ihara のゼータ関数が有限正則グラフの言葉を用いて表現できることを示唆した。
3. この示唆に基づいて, Sunada が [Sun86] の中でグラフの閉測地線による解釈を与え, 行列式表示が隣接行列を用いて表現されることを示した。 この中で, 後に Ramanujan graph として定式化されることになる正則グラフは, リーマン予想の類似を満たす正則グラフであることを示した。
4. Hashimoto は東大における Sunada の集中講義を聴いて, 階数が \(1\) の \(p\)-進群にゼータ関数を一般化し, その行列式表示を確立した。 [Has89; Has90; Has92]
5. Bass [Bas92] は一般の有限グラフのゼータ関数も, 行列式表示を持つことを示した。その簡単な証明は, Kotani と Sunada の [KS00] にある。

Survey としては Guido と Isola と Lapidus の [GIL08a] がある。 また A. Terras のグラフのzeta関数についての本 [Ter11] も出版された。

Guido と Isola と Lapidus の [GIL08b] によると, 微分幾何学が compact 多様体から, その無限 被覆, そしてより一般の非コンパクト多様体へと研究対象を広げていったように, graph の zeta関数も, 有限グラフから有限グラフの無限被覆, そしてより一般の無限グラフへと拡張されていった。 この論文の Introduction には豊富な参考文献が挙げられている。

彼らは, self-similarity を持つ fractal graph という種類の無限グラフの zeta関数を, [GIL09] で調べている。

グラフの無限被覆とは, periodic graph, そして群の tree への作用を考えることである。Periodic graph への拡張は, Clair ら [CM01; Cla09] による。

無限グラフを扱うためには, 組み合せ論的な手法では不十分である。 一つの方法は解析の道具を使うことである。

Lenz と Pogorzelski と Schmidt [LPS19] は, 頂点集合に 測度が定義された measure graph に対し, Connes の noncommutative integration theory を用いた zeta関数の定義を提案している。

• measure graph

Stark と Terras は, [ST96] で, edge zeta function という拡張を定義した。Storm の [Sto11] によると, 結構有用なものらしい。

• edge zeta function

他にも変種や拡張として以下のものがある。

• Bartholdi zeta function [Bar99]
• spectral zeta function [FK]
• Artin-Ihara \(L\)-function [ST00]
• chromatic zeta function [Cil17]

グラフの一般化として hypergraph という概念があるが, それに対しても zeta関数を定義できる。Ihara zeta function の hypergraph 版は Storm の [Sto06] で, Artin-Ihara \(L\)-function の hypergraph 版は, Eyler と Jun の [EJ24] で導入されている。

有向グラフに対しては, Horton [Hor07] によるものがある。

Quiver に合成を定義したものが small category であるから, small category は (向きのついた) グラフの一般化とみなすことができるが, zeta関数の定義は, finite category に対しても拡張されている。 [Nog13; Nog] など。

References

[Bar99]

Laurent Bartholdi. “Counting paths in graphs”. In: Enseign. Math. (2) 45.1-2 (1999), pp. 83–131.

[Bas92]

Hyman Bass. “The Ihara-Selberg zeta function of a tree lattice”. In: Internat. J. Math. 3.6 (1992), pp. 717–797. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X92000357.

[Cil17]

J. Cilleruelo. “Visible lattice points and the chromatic zeta function of a graph”. In: Acta Math. Hungar. 151.1 (2017), pp. 1–7. arXiv: 1507.06967. url: https://doi.org/10.1007/s10474-016-0678-y.

[Cla09]

Bryan Clair. “Zeta functions of graphs with \(\Bbb Z\) actions”. In: J. Combin. Theory Ser. B 99.1 (2009), pp. 48–61. arXiv: math/0607689. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jctb.2008.04.002.

[CM01]

Bryan Clair and Shahriar Mokhtari-Sharghi. “Zeta functions of discrete groups acting on trees”. In: J. Algebra 237.2 (2001), pp. 591–620. arXiv: math/9908068. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.2000.8600.

[EJ24]

Mason Eyler and Jaiung Jun. “Artin-Ihara L-functions for hypergraphs”. In: Adv. Math. 450 (2024), Paper No. 109745, 35. arXiv: 2309.15873. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2024.109745.

[FK]

Fabien Friedli and Anders Karlsson. Spectral zeta functions of graphs and the Riemann zeta function in the critical strip. arXiv: 1410.8010.

[GIL08a]

Daniele Guido, Tommaso Isola, and Michel L. Lapidus. “Ihara zeta functions for periodic simple graphs”. In: \(C^*\)-algebras and elliptic theory II. Trends Math. Birkhäuser, Basel, 2008, pp. 103–121. arXiv: math/0605753. url: https://doi.org/10.1007/978-3-7643-8604-7_5.

[GIL08b]

Daniele Guido, Tommaso Isola, and Michel L. Lapidus. “Ihara’s zeta function for periodic graphs and its approximation in the amenable case”. In: J. Funct. Anal. 255.6 (2008), pp. 1339–1361. arXiv: math/0608229. url: https://doi.org/10.1016/j.jfa.2008.07.011.

[GIL09]

Daniele Guido, Tommaso Isola, and Michel L. Lapidus. “A trace on fractal graphs and the Ihara zeta function”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 361.6 (2009), pp. 3041–3070. arXiv: math/0608060. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04702-8.

[Has89]

Ki-ichiro Hashimoto. “Zeta functions of finite graphs and representations of \(p\)-adic groups”. In: Automorphic forms and geometry of arithmetic varieties. Vol. 15. Adv. Stud. Pure Math. Academic Press, Boston, MA, 1989, pp. 211–280. url: https://doi.org/10.2969/aspm/01510211.

[Has90]

Ki-ichiro Hashimoto. “On zeta and \(L\)-functions of finite graphs”. In: Internat. J. Math. 1.4 (1990), pp. 381–396. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X90000204.

[Has92]

Ki-ichiro Hashimoto. “Artin type \(L\)-functions and the density theorem for prime cycles on finite graphs”. In: Internat. J. Math. 3.6 (1992), pp. 809–826. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X92000370.

[Hor07]

Matthew D. Horton. “Ihara zeta functions of digraphs”. In: Linear Algebra Appl. 425.1 (2007), pp. 130–142. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.laa.2007.03.013.

[Iha66]

Yasutaka Ihara. “On discrete subgroups of the two by two projective linear group over \(\mathfrak {p}\)-adic fields”. In: J. Math. Soc. Japan 18 (1966), pp. 219–235.

[KS00]

Motoko Kotani and Toshikazu Sunada. “Zeta functions of finite graphs”. In: J. Math. Sci. Univ. Tokyo 7.1 (2000), pp. 7–25.

[LPS19]

Daniel Lenz, Felix Pogorzelski, and Marcel Schmidt. “The Ihara zeta function for infinite graphs”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 371.8 (2019), pp. 5687–5729. arXiv: 1408.3522. url: https://doi.org/10.1090/tran/7508.

[Nog]

Kazunori Noguchi. The zeta function of a finite category which has Möbius inversion. arXiv: 1205.4380.

[Nog13]

Kazunori Noguchi. “The zeta function of a finite category”. In: Doc. Math. 18 (2013), pp. 1243–1274. arXiv: 1203.6133.

[Ser03]

Jean-Pierre Serre. Trees. Springer Monographs in Mathematics. Translated from the French original by John Stillwell, Corrected 2nd printing of the 1980 English translation. Berlin: Springer-Verlag, 2003, pp. x+142. isbn: 3-540-44237-5.

[ST00]

H. M. Stark and A. A. Terras. “Zeta functions of finite graphs and coverings. II”. In: Adv. Math. 154.1 (2000), pp. 132–195. url: https://doi.org/10.1006/aima.2000.1917.

[ST96]

H. M. Stark and A. A. Terras. “Zeta functions of finite graphs and coverings”. In: Adv. Math. 121.1 (1996), pp. 124–165. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1996.0050.

[Sto06]

Christopher K. Storm. “The zeta function of a hypergraph”. In: Electron. J. Combin. 13.1 (2006), Research Paper 84, 26. arXiv: math/0608761. url: http://www.combinatorics.org/Volume_13/Abstracts/v13i1r84.html.

[Sto11]

Christopher Storm. “Some properties of graphs determined by edge zeta functions”. In: Linear Algebra Appl. 434.5 (2011), pp. 1285–1294. arXiv: 0708.1923. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.laa.2010.11.011.

[Sun86]

Toshikazu Sunada. “\(L\)-functions in geometry and some applications”. In: Curvature and topology of Riemannian manifolds (Katata, 1985). Vol. 1201. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 1986, pp. 266–284. url: https://doi.org/10.1007/BFb0075662.

[Ter11]

Audrey Terras. Zeta functions of graphs. Vol. 128. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. A stroll through the garden. Cambridge: Cambridge University Press, 2011, pp. xii+239. isbn: 978-0-521-11367-0.