Invariants of Triangulated Categories

代数多様体や scheme, そして環などの主要な情報は, その derived category が持っていると考え, 一般の triangulated category を, そのような幾何学的対象や代数的対象の一般化と考える立場がある。よって, triangulated category の不変量を定義すると, 調べたいものの不変量が得られる。

Triangulated category の不変量としては, まず次元がある。 Triangulated category の次元は, Rouquier の [Rou08] で定義されたものである。Katzarkov と Kerr [KK13] では, dg enhancement や \(A_{\infty }\)-enhancement を用いたアプローチが提案されてい る。

• dimension

幾何学的な対象を構成することもでき, それを triangulated category の不変量と考えることもできる。代表的なのは, stability condition の空間である。

• stability condition の空間

Stability condition の空間以外にも, 幾何学的なものを不変量とすることが考えられている。Broomhead と Pauksztello と Ploog の[BPP16] では, CW複体 (poset) が構成されている。どうやら, この CW複体は, stability condition の空間の deformation retraction になっているようである。同様のことは, J. Woolf が考えている, と Woolf からの e-mail で知った。Woolf は cellular stratified space を使っているようである。

• silting pairs CW complex

また Ploog は, Hochenegger と Kalck と共に [HKP19] で triangulated category の spherical subcategory の成す poset を不変量として用いることを 提案している。

• poset of spherical subcategories

Dimitrov と Haiden と Katzarkov と Kontsevich [Dim+14] は, generator を持つ triangulated category の exact endofunctor に対し, \(\R \) 上の実数値関数を定義し, その endofunctor の entropy と呼んでいる。

• triangulated category の endofunctor の entropy

Endofunctor として特定のものを取ると, その triangulated category の不変量が得られる。例えば, Serre functor など。

Gratz と Stevenson [GS23] は, triangulated category の中の thick subcategory の成す lattice を調べている。その動機は, Balmer の tt-geometry で monoidal triangulated category を調べるのに thick \(\otimes \)-ideal を使っていることのようである。Monoidal structure を持たない triangulated category でも thick subcategory の成す集合が, その triangulated category に関する重要な情報を持っているだろう, というアイデアである。

• lattice of thick subcategories

References

[BPP16]

Nathan Broomhead, David Pauksztello, and David Ploog. “Discrete derived categories II: the silting pairs CW complex and the stability manifold”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 93.2 (2016), pp. 273–300. arXiv: 1407.5944. url: https://doi.org/10.1112/jlms/jdv069.

[Dim+14]

G. Dimitrov, F. Haiden, L. Katzarkov, and M. Kontsevich. “Dynamical systems and categories”. In: The influence of Solomon Lefschetz in geometry and topology. Vol. 621. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, pp. 133–170. arXiv: 1307. 8418. url: https://doi.org/10.1090/conm/621/12421.

[GS23]

Sira Gratz and Greg Stevenson. “Approximating triangulated categories by spaces”. In: Adv. Math. 425 (2023), Paper No. 109073, 44. arXiv: 2205.13356. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2023.109073.

[HKP19]

Andreas Hochenegger, Martin Kalck, and David Ploog. “Spherical subcategories in representation theory”. In: Math. Z. 291.1-2 (2019), pp. 113–147. arXiv: 1502.06838. url: https://doi.org/10.1007/s00209-018-2075-4.

[KK13]

Ludmil Katzarkov and Gabriel Kerr. “Orlov spectra as a filtered cohomology theory”. In: Adv. Math. 243 (2013), pp. 232–261. arXiv: 1210.1694. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.04.002.

[Rou08]

Raphaël Rouquier. “Dimensions of triangulated categories”. In: J. K-Theory 1.2 (2008), pp. 193–256. arXiv: math/0310134. url: http://dx.doi.org/10.1017/is007011012jkt010.