Operations on Posets

既存の poset から新しい poset を作る方法は色々ある。例えば, 以下のようなもの。

• Rees product [BW05]
• ordinal sum [Lad08]
• quotient [Wil24]
• linear extension

Linear extension は, poset に関係を追加して totally ordered set にする操作である。当然一意的ではないので, linear extension の集合が考えられる。最近では, Kenyon らの [Ken+24] で登場する。彼等は, 行と列が poset \(P\) の linear extension の集合で index された [OS18] で導入された正方行列を調べ, その固有値が成分の1次結合になる, という不思議な現象が成り立つことを証明している。

Poset は small category とみなすことができるので, poset に対する操作を small category に一般化することが考えられる。例えば, small category の linear extension は, Hovey の model category の本 [Hov99] の §5.1 で登場する。

もちろん, small category に対する操作を適用することもできる。 例えば, fiber product は, Björner と Welker の [BW05] では, Segre product と呼ばれている。

• Segre product

ホモトピー論との関係では, poset の図式, すなわち poset の category に値を持つ presheaf や precosheaf に対する Grothendieck construction が重要である。組み合せ論の世界では poset limit と呼ばれているようであるが。

• diagram of posets
• poset limit

Small category に対しては, 何種類かの細分の操作が知られているが, もちろん, それらを poset に対し適用することができる。 例えば, 重心細分とか。

• barycentric subdivision of poset

References

[BW05]

Anders Björner and Volkmar Welker. “Segre and Rees products of posets, with ring-theoretic applications”. In: J. Pure Appl. Algebra 198.1-3 (2005), pp. 43–55. arXiv: math/0312516. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2004.11.013.

[Hov99]

Mark Hovey. Model categories. Vol. 63. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1999, p. xii 209. isbn: 0-8218-1359-5.

[Ken+24]

Richard Kenyon et al. “The miracle of integer eigenvalues”. In: Funct. Anal. Appl. 58.2 (2024), pp. 182–194. arXiv: 2401.05291.

[Lad08]

Sefi Ladkani. “On derived equivalences of categories of sheaves over finite posets”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.2 (2008), pp. 435–451. arXiv: math/0610685. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.06.005.

[OS18]

O. V. Ogievetskiı̆ and S. B. Shlosman. “Plane partitions and their pedestal polynomials”. In: Mat. Zametki 103.5 (2018), pp. 745–749. arXiv: 1412.7666. url: https://doi.org/10.4213/mzm11958.

[Wil24]

Nicholas J. Williams. “A survey of congruences and quotients of partially ordered sets”. In: EMS Surv. Math. Sci. 11.1 (2024), pp. 153–203. arXiv: 2303.03765. url: https://doi.org/10.4171/emss/79.