対称群の表現

群の表現の中でも, 特に 対称群の表現は, Steenrod operation や 多重ループ空間の理論 など, 様々な形で代数的トポロジーに関わっている。 一つの理由は, configuration space に対称群が作用するからである。よって, その (co)homology は対称群の表現となる。 最近では, Jie Wu が対称群の modular representation をループ空間の分解に用いようとしている。 [BW] など。

対称群の表現についても様々な本がある。例えば [Jam78] や [Sag01] などである。日本語では [至02] が読み易い。

まず標数 \(0\) での表現では, partition 及びそれに付随した Young tableaux などの概念が基本的な道具である。

• partition と Young tableaux

代数的トポロジーで重要なのは, 正の標数の体上での表現, つまりモジュラー表現である。

• Weyl の idempotent

関連した概念として, Dowling lattice というものがある。有限群 \(G\) と自然数 \(n\) に対し定義される poset \(Q_n(G)\) である。

• Dowling lattice \(Q_n(G)\) には wreath product \(G\wr \Sigma _n\) が作用する
• \(Q_n(\{1\})\) は partition poset \(\Pi _{n 1}\) である

Calderbank と Hanlon と Robinson の [CHR86] での partition lattice の subposet に関する結果を Dowling lattice に一般化しようというのが, Henderson の [Hen06] である。

Deligne [Del07] は, 対称群の 表現の成す tensor category を一般化することにより, 自然数とは限らない \(t\) に対し, “\(t\)次対称群の表現の圏”を定義した。その後, 様々な一般化が得られている。

• Deligne の category \(\mathrm {Rep}(S_t)\) とその一般化

Deligne の tesnor category に関する仕事 [Del02] に関係したものとして Schur functor という概念がある。Ostrik による Deligne の仕事の解説 [Ost] を見るとよい。

• Schur functor

Ostrik の解説に現れるのは, \(n\) の partition \(\lambda \) に対応した irreducible representation を用いて定義される \(\bbC \) 上の有限次元ベクトル空間の category の endofunctor

であるが, 様々な形に一般化されている。最も一般的なものは Baez らによる [BMT24] だと思うが, それを理解するためには, まずは nLab の記事を読むのが良いと思う。

無限次の対称群の表現はちょっと面倒である。 Okounkov の [Oku97] によると, 文献としては [Lie72; Ols85] などがある。Okounkov の論文にある Olshansky semigroup というのは, Moore path を使った braid 群の拡張であり, 興味深い。

Okounkovは, 更に [Oko00] で対称群 \(\Sigma _n\) の表現の Plancherel measure の \(n\to \infty \) のときの振る舞いについて調べている。Plancherel measure とは Fourier 変換により Haar measure に対応するもの, らしい。 その結果は, 曲面の二つの構成方法, 多角形の貼り合わせと \(S^2\) の branched covering, の間の対応を与えているらしく興味深い。また Riemann 面の moduli space の intersection theory とも関係あるらしい。

References

[BMT24]

John C. Baez, Joe Moeller, and Todd Trimble. “Schur functors and categorified plethysm”. In: High. Struct. 8.1 (2024), pp. 1–53. arXiv: 2106.00190.

[BW]

Piotr Beben and Jie Wu. Modular representations and the homotopy of low rank \(p\)-local \(CW\)-complexes. arXiv: 1002.3752.

[CHR86]

A. R. Calderbank, P. Hanlon, and R. W. Robinson. “Partitions into even and odd block size and some unusual characters of the symmetric groups”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 53.2 (1986), pp. 288–320. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/s3-53.2.288.

[Del02]

P. Deligne. “Catégories tensorielles”. In: Mosc. Math. J. 2.2 (2002). Dedicated to Yuri I. Manin on the occasion of his 65th birthday, pp. 227–248.

[Del07]

P. Deligne. “La catégorie des représentations du groupe symétrique \(S_{t}\), lorsque \(t\) n’est pas un entier naturel”. In: Algebraic groups and homogeneous spaces. Tata Inst. Fund. Res. Stud. Math. Mumbai: Tata Inst. Fund. Res., 2007, pp. 209–273.

[Hen06]

Anthony Henderson. “Plethysm for wreath products and homology of sub-posets of Dowling lattices”. In: Electron. J. Combin. 13.1 (2006), Research Paper 87, 25. arXiv: math/0604126. url: http://www.combinatorics.org/Volume_13/Abstracts/v13i1r87.html.

[Jam78]

G. D. James. The representation theory of the symmetric groups. Vol. 682. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1978, pp. v+156. isbn: 3-540-08948-9.

[Lie72]

Arthur Lieberman. “The structure of certain unitary representations of infinite symmetric groups”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 164 (1972), pp. 189–198.

[Oko00]

Andrei Okounkov. “Random matrices and random permutations”. In: Internat. Math. Res. Notices 20 (2000), pp. 1043–1095. arXiv: math/9903176. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792800000532.

[Oku97]

A. Okun\('\)kov. “On representations of the infinite symmetric group”. In: Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 240.Teor. Predst. Din. Sist. Komb. i Algoritm. Metody. 2 (1997), pp. 166–228, 294. arXiv: math/9803037. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02175834.

[Ols85]

G. I. Olshansky. “Unitary representations of the infinite symmetric group: a semigroup approach”. In: Representations of Lie groups and Lie algebras (Budapest, 1971). Akad. Kiadó, Budapest, 1985, pp. 181–197.

[Ost]

Victor Ostrik. Tensor categories (after P. Deligne). arXiv: math/0401347.

[Sag01]

Bruce E. Sagan. The symmetric group. Second. Vol. 203. Graduate Texts in Mathematics. Representations, combinatorial algorithms, and symmetric functions. Springer-Verlag, New York, 2001, pp. xvi+238. isbn: 0-387-95067-2. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4757-6804-6.

[至02]

寺田 至. ヤング図形のはなし (日評数学選書). 日本評論社, 2002. isbn: 9784535601352. url: http://amazon.co.jp/o/ASIN/4535601356/.