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Cheeger-Simons の differential character の成す環を (ordinary) differential cohomology
という。 類似のものとして, Deligne cohomology などがある。
一般コホモロジーに対しては, Freed が [Fre00] で, そして Hopkins と Singer が [HS05] で generalized
differential cohomology を定義している。Freed の論文を読むとその motivation がよく分かる。 また, Bunke の
lecture note [Bun] を見ると概観がつかめるかもしれない。
Szabo と Valentino の [SV10] にあるように, 単純化して言えば, 一般コホモロジー \(E^{*}(-)\) の differential version \(\breve {E}^{*}(-)\)
とは, 次の pull-back diagram で定義されるものである。 \[ \xymatrix { \breve {E}^*(M) \ar [r] \ar [d] & \Omega _{\mathrm {cl}}^*(M;E^*(*)\otimes \R ) \ar [d] \\ E^*(M) \ar [r]_{\mathrm {ch}} & H^*(M;E^*(*)\otimes \R ) } \] ここで, \(\Omega _{\mathrm {cl}}^*(M;E^*(*)\otimes \R )\) は, smooth manifold \(M\) 上の \(E^*(*)\otimes \R \) 係数の closed
differential form の成すベクトル空間である。\(\mathrm {ch}\) は, \(\Q \) 上のベクトル空間に値を持つコホモロジーの Atiyah-Hirzebruch
spectral sequence が \(E_2\)-term で collapse することから得られる写像で, \(K\)-theory の場合は, Chern character
である。
Bunke と Schick は, [BS09] で, 一般コホモロジーの smooth extension という言葉を使っている。 また,
Bunke と Schick [BS12] は一般コホモロジーの smooth extension の公理も述べている。[BS10] では
multiplicative smooth extension の定義も与えている。
Bunke と Schick は [BS10; BS] では, smooth extension の一意性について考えている。
Upmeier [Upm] は, この Bunke と Schick の公理の下での一意性を述べるのに, differential cohomology
を symmetric monoidal groupoid に値を持つ functor とみなすべきだと主張している。
Bunke と Schick は, [Bun+09] では 複素コボルディズムの smooth extension を構成している。Ordinary
integral cohomology の類似の記述については, Kreck と共に [BKS10] で stratifold を用いて与えている。
最もよく調べられているのは, \(K\)-theory の場合だろう。
群の作用がある場合, smooth Deligne cohomology の equivariant版 が Gomi [Gom05]
により導入されている。Kübel と Thom [KT18] はその改良版を提案している。Redden [Red17] は Borel
construction による equivariant cohomology の differential 版を定義している。
- equivariant differential cohomology
Grady と Sati [GS18] は, stack を用いて Massey product を differential cohomology
に拡張している。
対のコホモロジーの differential version もある。Christian Becker の [Bec] や Ruffino の [Ruf15]
など。
ホモロジーについては, Ruffino の [Ruf17]がある。Jakob の [Jak98] が使われている。
- differential あるいは smooth homology
数理物理に現れるもう一つのコホモジーの一般化である twisted 版 を differential cohomology
に導入しようという試みもある。
Freed らの仕事 [Fre; FH21] により Anderson dual が topological phase の研究で使われるようになったが,
その differential extension を Yamashita ら [YY23; Yam23; Yam] が考えている。
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