Generalizations of Nerves and Classifying Spaces

Small category \(C\) がある構造を持つときには, nerve \(NC\) や 分類空間 \(BC\) としては, その構造を継承したものを定義すべきだろう。 例えば, topological category の場合, nerve は simplicial set ではなく, simplicial space として構成すべきである。

ただ, 残念ながら topological category の nerve や分類空間については, これといってまとまった文献がない。Small category について成り立つ事実は, その topological category version が, 探せばどこかにあるかもしれない, という感じである。例えば, functor の間に natural transformation があれば, 分類空間の間の写像のホモトピーができる, という性質の topological version は, Segal の [Seg68] に Proposition 2.1 として 述べてある。しかしながら, 文献を探すことに労力を費すより small category の文献を読んで自分で topological category の場合を証明を考えてみた方がずっとためになるだろう。

Discrete category と topological category の関係については, [Fie84] がある。この論文で, Fiedoriwicz は topological category \(\mathcal {C}\) とその離散化 \(C^{\delta }\) に対し, 分類空間が弱ホモトピー同値になる条件を調べている。具体的な例としては, 例えば次の結果を得ている。

• Hilbert cube manifold \(M\) に対し, その自己ホモトピー同値のなす monoid を \(H(M)\) で表わすと, 自然な写像は弱ホモトピー同値である。

  \[ BH(M)^{\delta } \rarrow {\relation {\simeq }{w}} BH(M) \]

対象の双対 (dual) を取る操作を持つ category については, その nerve や分類空間に \(\Z /2\Z \) の作用が誘導されることが期待される。 これについては, Hesselholt と Madsen [HM] が考えているようであるが, とりあえず Dotto の thesis [Dot] の §1.4 を見るとよいと思う。

Simplicial category の nerve については, 1980年代に Cordier [Cor82] により homotopy coherent nerve の名前で導入されている。

• Cordier’s homotopy coherent nerve

Simplicial category を \((\infty ,1)\)-category のモデルとみなすという視点からは, これは simplicial category を quasicategory に変換する構成と考えられる。 これについては, Lurie の本 [Lur09] の §1.1.5 にまとめられている。そこでは simplicial nerve と呼ばれているが。

この Cordier の構成のアイデアはとても単純で, \([n]=\{0<1<\ldots <n\}\) を用いた通常の category \(C\) の nerve の定義

で \([n]\) をある simplicial cateoory \(L([n])\) にし, small category の category \(\category {Cat}\) を small simplicial category の category にするだけである。

よって \([n]\) に対応するものがあれば, 同様に nerve の構成を一般化することができる。 このようにして定義された nerve には, dg category や \(A_{\infty }\)-category のものがある。 例えば, dg category の場合は, Lurie の Higher Algebra [Lur] の§1.3.1 (Construction 1.3.1.6) にある。そのすぐ 後の Remark 1.3.1.7 では, \(A_{\infty }\)-category へも一般化できると書いてあるが, 詳細は省略されている。 \(A_{\infty }\)-categoryのnerveについて詳しく 書いたものとして, Faonteの [Fao17] がある。

• nerve of dg category
• nerve of \(A_{\infty }\)-category

Faonte は, その論文の中で pretriangulated dg category の nerve が stable \((\infty ,1)\)-category になっていることを示しているが, その \(A_{\infty }\) 版は示していない。それについては Mattia [Orn26] が示している。

Monoidal category \((\bm {V},\otimes ,1)\) で enrich された category \(C_{0}\) については, 2つの object \(x,y\) の間の morphism \(C(x,y)\) は \(\bm {V}\) の object になるので, nerve としては \(\bm {V}\) の simplicial object を構成したいところであるが, 残念ながら \(C_{0}\) が \(\bm {V}\) の object ではないので, それはできない。 この問題を解決するために, Lowen と Mertens [LM] は, templicial object を用いることを提案している。

• enriched category の templicial nerve

当然, 高次の圏への一般化も考えられている。

• \(2\)-category やそれに類するものの分類空間

\(3\)-category (tricategory) の分類空間については, Cegarra と Heredia の [CH14] を見るとよい。

References

[CH14]

Antonio M. Cegarra and Benjamín A. Heredia. “Comparing geometric realizations of tricategories”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.4 (2014), pp. 1997–2064. arXiv: 1203.3664. url: https://doi.org/10.2140/agt.2014.14.1997.

[Cor82]

Jean-Marc Cordier. “Sur la notion de diagramme homotopiquement cohérent”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 23.1 (1982). Third Colloquium on Categories, Part VI (Amiens, 1980), pp. 93–112.

[Dot]

Emanuele Dotto. Stable real \(K\)-theory and real topological Hochschild homology. arXiv: 1212.4310.

[Fao17]

Giovanni Faonte. “Simplicial nerve of an \(\cA _\infty \)-category”. In: Theory Appl. Categ. 32 (2017), Paper No. 2, 31–52. arXiv: 1312.2127.

[Fie84]

Z. Fiedorowicz. “Classifying spaces of topological monoids and categories”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984), pp. 301–350. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374307.

[HM]

Lars Hesselholt and Ib Madsen. Real algebraic \(K\)-theory. url: http://web.math.ku.dk/~larsh/papers/s05/.

[LM]

Wendy Lowen and Arne Mertens. Enriched quasi-categories and the templicial homotopy coherent nerve. arXiv: 2302.02484.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Lur09]

Jacob Lurie. Higher topos theory. Vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2009, pp. xviii+925. isbn: 978-0-691-14049-0. url: http://dx.doi.org/10.1515/9781400830558.

[Orn26]

Mattia Ornaghi. “Some Properties of the \(A_{\infty }\)-Nerve”. In: Milan Journal of Mathematics (Mar. 2, 2026). arXiv: 1609.00566. url: https://doi.org/10.1007/s00032-026-00429-3.

[Seg68]

Graeme Segal. “Classifying spaces and spectral sequences”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 34 (1968), pp. 105–112. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__105_0.