Frieze Patterns

最近様々なところで frieze pattern というものを目にするようになった。 2次元的に数を配置したもので, Coxeter [Cox71] により考えられた。 元々の Coxeter の動機は連分数を調べることだったようであるが, 最近よく見かけるようになったのは, cluster algebra との関係が発見されたからのようである。 Morier-Genoud [Mor15] によると, もう一つの起源として, 有限次代数の表現論も挙げるべきのようである。

古い文献としては, Conway と Coxeter の [CC73a; CC73b] があるが, そこでは 多角形の三角形分割との関係が証明されている。

新しいものでは, Mathematical Intelligencer の Baur による解説 [Bau21] がある。 Cluster algebra のと関連も含めて解説したものとしては, Morier-Genoud の [Mor15] や Pressland の [Pre23] がある。 Tabachnikov の Numberphile での Youtube 動画も見る価値がある。 その続編もある。

最近, 様々な一般化が登場していて興味深い。

• generalized frieze [BHJ14; HJ15]
• frieze pattern with coefficients [CHJ20]
• Heronian frieze [FS21]
• weak frieze [ÇJ21]
• noncommutative frieze pattern [CHJa; CHJb] などがある。

最後のものは, Conway と Coxeter による frieze pattern と凸多角形の三角形分割の対応に基づき Berenstein と Retakh [BR18] による noncommutative polygon を利用して定義されたものである。

Frieze pattern に関係したものとして, これまで挙げたものの他に以下のようなものがある。 これからもどんどん新しいものとの関係が発見されそうである。

• moduli space of genous \(0\) curves [MOT12]
• Weyl groupoid [Cun14]

References

[Bau21]

Karin Baur. “Frieze patterns of integers”. In: Math. Intelligencer 43.2 (2021), pp. 47–54. arXiv: 2101.05676. url: https://doi.org/10.1007/s00283-021-10065-x.

[BHJ14]

Christine Bessenrodt, Thorsten Holm, and Peter Jørgensen. “Generalized frieze pattern determinants and higher angulations of polygons”. In: J. Combin. Theory Ser. A 123 (2014), pp. 30–42. arXiv: 1305.1098. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2013.11.003.

[BR18]

Arkady Berenstein and Vladimir Retakh. “Noncommutative marked surfaces”. In: Adv. Math. 328 (2018), pp. 1010–1087. arXiv: 1510.02628. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.02.014.

[CC73a]

J. H. Conway and H. S. M. Coxeter. “Triangulated polygons and frieze patterns”. In: Math. Gaz. 57.400 (1973), pp. 87–94. url: https://doi.org/10.2307/3615344.

[CC73b]

J. H. Conway and H. S. M. Coxeter. “Triangulated polygons and frieze patterns”. In: Math. Gaz. 57.401 (1973), pp. 175–183. url: https://doi.org/10.2307/3615561.

[CHJa]

Michael Cuntz, Thorsten Holm, and Peter Jorgensen. Non-commutative friezes and their determinants, the non-commutative Laurent phenomenon for weak friezes, and frieze gluing. arXiv: 2410.13507.

[CHJb]

Michael Cuntz, Thorsten Holm, and Peter Jorgensen. Noncommutative frieze patterns with coefficients. arXiv: 2403.09156.

[CHJ20]

Michael Cuntz, Thorsten Holm, and Peter Jørgensen. “Frieze patterns with coefficients”. In: Forum Math. Sigma 8 (2020), Paper No. e17, 36. arXiv: 1909.02332. url: https://doi.org/10.1017/fms.2020.13.

[ÇJ21]

İlke Çanakçı and Peter Jørgensen. “Friezes, weak friezes, and T-paths”. In: Adv. in Appl. Math. 131 (2021), Paper No. 102253, 19. arXiv: 2005.06230. url: https://doi.org/10.1016/j.aam.2021.102253.

[Cox71]

H. S. M. Coxeter. “Frieze patterns”. In: Acta Arith. 18 (1971), pp. 297–310.

[Cun14]

M. Cuntz. “Frieze patterns as root posets and affine triangulations”. In: European J. Combin. 42 (2014), pp. 167–178. arXiv: 1307.7986. url: https://doi.org/10.1016/j.ejc.2014.06.005.

[FS21]

Sergey Fomin and Linus Setiabrata. “Heronian friezes”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 1 (2021), pp. 651–697. arXiv: 1909.01308. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnaa057.

[HJ15]

Thorsten Holm and Peter Jørgensen. “Generalized friezes and a modified Caldero-Chapoton map depending on a rigid object”. In: Nagoya Math. J. 218 (2015), pp. 101–124. arXiv: 1310.3702. url: https://doi.org/10.1215/00277630-2891495.

[Mor15]

Sophie Morier-Genoud. “Coxeter’s frieze patterns at the crossroads of algebra, geometry and combinatorics”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 47.6 (2015), pp. 895–938. arXiv: 1503.05049. url: https://doi.org/10.1112/blms/bdv070.

[MOT12]

Sophie Morier-Genoud, Valentin Ovsienko, and Serge Tabachnikov. “2-frieze patterns and the cluster structure of the space of polygons”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 62 (2012), pp. 937–987. arXiv: 1008.3359. url: https://doi.org/10.5802/aif.2713.

[Pre23]

Matthew Pressland. “From frieze patterns to cluster categories”. In: Modern trends in algebra and representation theory. Vol. 486. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2023, pp. 109–145. arXiv: 2010.14302.