Applications of Persistent Homology

Persistent homology の人気は留まるところを知らない。様々な分野での応用が次々に発見されている。 当然, ここで全ての応用を網羅するのは不可能であるが, 以下に気が付いたものを集めてみた。

• manifold learning [NSW08; NSW11]
• bioinformatics [Dab+12; Kas+07]
• 遺伝子情報の解析 [CCR13; ER; Emm+; CLR; LRR]
• computational chemistry [Mar+10]
• 高分子の構造 [平岡裕13]
• 医学 [ARC]
• neuron の活動 [Spr+]
• 音楽データ (Budney と Sethares の論文 [SB14] と Budney による blog post, Bergomi, Baratè, Di Fabio の [BBD16])
• fluid dynamics [Kra+]
• string theory [Cir]
• 様々な国の民主性の比較 [SK]
• 言語学 [Por+]

最新のものとしては, この webpage を見るとよい。

このような数学の外への応用以外にも, 数学の問題にも使おうという試みもある。 Bubenikと de Silva と Scott の [BSS] の section 1.3 に interleaving distance が使われている例が, いくつか挙げられている。

• Alsing ら [Als+] は Ricci flow の discrete版である simplicial Ricci flow の特異点を調べるために使おうとしている。
• Usher と Zhang [UZ] は Novikov 流の closed 1-form による Morse theory や Floer theory へ barcode を拡張することを考えている。
• Floer theory に関しては, Usher と Zhang 以前に Polterovich と Shelukhin の [PS] がある。 Zhang [Zha] は [UZ] の結果を用いて Polterovich と Shelukhin の結果を拡張している。
• Frosini と Landi は [FL] で, \(C^1\)級の写像 \(S^1 \to \R ^2\) を調べるのに使っている。
• 写像を調べたものとしては, Patel らの [Ben+] もある。
• Fractal 次元とも関係あるようである。 Schweinhart [Sch] によると, 既に Robins の Ph.D. thesis [Rob00] に現れているらしい。 他にも, MacPherson と Schweinhart の [MS12] や, Adams らの [Ada+] がある。

最近では, 驚くほど多くの symplectic geometry や contact geometry への応用が発見されている。 まずは, Polterovich, Rosen, Samvelyan, Zhang の [Pol+20] を見てみるのがよいと思う。

関連して, triangulated category と persistence module の構造を組み合せたものを Biran, Cornea, Zhang [BCZb] が導入している。彼等は, derived Fukaya category の refinement を定義するのに用いている。

• persistence category
• triangulated persistence category

彼等は, [BCZa] では, Grothendieck group を調べている。

References

[Ada+]

Henry Adams et al. A fractal dimension for measures via persistent homology. arXiv: 1808.01079.

[Als+]

Paul M. Alsing et al. Topological Signals of Singularities in Ricci Flow. arXiv: 1502.02630.

[ARC]

Aaron Adcock, Daniel Rubin, and Gunnar Carlsson. Classification of Hepatic Lesions using the Matching Metric. arXiv: 1210.0866.

[BBD16]

Mattia G. Bergomi, Adriano Baratè, and Barbara Di Fabio. “Towards a topological fingerprint of music”. In: Computational topology in image context. Vol. 9667. Lecture Notes in Comput. Sci. Springer, [Cham], 2016, pp. 88–100. arXiv: 1602.00739. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-39441-1_9.

[BCZa]

Paul Biran, Octav Cornea, and Jun Zhang. Persistence \(K\)-theory. arXiv: 2305.01370.

[BCZb]

Paul Biran, Octav Cornea, and Jun Zhang. Triangulation, Persistence, and Fukaya categories. arXiv: 2304.01785.

[Ben+]

Paul Bendich, Herbert Edelsbrunner, Dmitriy Morozov, and Amit Patel. Homology and Robustness of Level and Interlevel Sets. arXiv: 1102.3389.

[BSS]

Peter Bubenik, Vin de Silva, and Jonathan Scott. Interleaving and Gromov-Hausdorff distance. arXiv: 1707.06288.

[CCR13]

Joseph Minhow Chan, Gunnar Carlsson, and Raul Rabadan. “Topology of viral evolution”. In: Proc. Natl. Acad. Sci. USA 110.46 (2013), pp. 18566–18571. url: http://dx.doi.org/10.1073/pnas.1313480110.

[Cir]

Michele Cirafici. Persistent Homology and String Vacua. arXiv: 1512.01170.

[CLR]

Pablo G. Camara, Arnold J. Levine, and Raul Rabadan. Inference of Ancestral Recombination Graphs through Topological Data Analysis. arXiv: 1505.05815.

[Dab+12]

Yu Dabaghian, Facundo Mémoli, L Frank, and Gunnar Carlsson. “A topological paradigm for hippocampal spatial map formation using persistent homology”. In: PLoS computational biology 8.8 (2012), e1002581.

[Emm+]

Kevin Emmett, Daniel Rosenbloom, Pablo Camara, and Raul Rabadan. Parametric Inference using Persistence Diagrams: A Case Study in Population Genetics. arXiv: 1406.4582.

[ER]

Kevin J. Emmett and Raul Rabadan. Characterizing Scales of Genetic Recombination and Antibiotic Resistance in Pathogenic Bacteria Using Topological Data Analysis. arXiv: 1406.1219.

[FL]

Patrizio Frosini and Claudia Landi. Uniqueness of models in persistent homology: the case of curves. arXiv: 1012.5783.

[Kas+07]

Peter M Kasson et al. “Persistent voids: a new structural metric for membrane fusion”. In: Bioinformatics 23.14 (2007), pp. 1753–1759.

[Kra+]

Miroslav Kramar et al. Analysis of Kolmogorov Flow and Rayleigh-Bénard Convection using Persistent Homology. arXiv: 1505.06168.

[LRR]

Michael Lesnick, Raúl Rabadán, and Daniel I. S. Rosenbloom. Quantifying Genetic Innovation: Mathematical Foundations for the Topological Study of Reticulate Evolution. arXiv: 1804.01398.

[Mar+10]

Shawn Martin, Aidan Thompson, Evangelos A Coutsias, and Jean-Paul Watson. “Topology of cyclo-octane energy landscape”. In: The journal of chemical physics 132 (2010), p. 234115.

[MS12]

Robert MacPherson and Benjamin Schweinhart. “Measuring shape with topology”. In: J. Math. Phys. 53.7 (2012), pp. 073516, 13. arXiv: 1011.2258. url: https://doi.org/10.1063/1.4737391.

[NSW08]

Partha Niyogi, Stephen Smale, and Shmuel Weinberger. “Finding the homology of submanifolds with high confidence from random samples”. In: Discrete Comput. Geom. 39.1-3 (2008), pp. 419–441. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-008-9053-2.

[NSW11]

P. Niyogi, S. Smale, and S. Weinberger. “A topological view of unsupervised learning from noisy data”. In: SIAM J. Comput. 40.3 (2011), pp. 646–663. url: http://dx.doi.org/10.1137/090762932.

[Pol+20]

Leonid Polterovich, Daniel Rosen, Karina Samvelyan, and Jun Zhang. Topological persistence in geometry and analysis. Vol. 74. University Lecture Series. American Mathematical Society, Providence, RI, [2020] ©2020, pp. xi+128. isbn: 978-1-4704-5495-1. arXiv: 1904.04044.

[Por+]

Alexander Port et al. Persistent Topology of Syntax. arXiv: 1507. 05134.

[PS]

Leonid Polterovich and Egor Shelukhin. Autonomous Hamiltonian flows, Hofer’s geometry and persistence modules. arXiv: 1412.8277.

[Rob00]

Vanessa Robins. Computational topology at multiple resolutions: Foundations and applications to fractals and dynamics. Thesis (Ph.D.)–University of Colorado at Boulder. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, June 2000, p. 203. isbn: 978-0599-85463-5. url: http://people.physics.anu.edu.au/~vbr110/thesis.php.

[SB14]

William A. Sethares and Ryan Budney. “Topology of musical data”. In: J. Math. Music 8.1 (2014), pp. 73–92. arXiv: 1307.1201. url: https://doi.org/10.1080/17459737.2013.850597.

[Sch]

Benjamin Schweinhart. The Persistent Homology of Random Geometric Complexes on Fractals. arXiv: 1808.02196.

[SK]

Laura Sjoberg and Kevin Knudson. Theoretical Geometry, Critical Theory, and Concept Spaces in IR. arXiv: 1506.01104.

[Spr+]

Gard Spreemann, Benjamin Dunn, Magnus Bakke Botnan, and Nils A. Baas. Using persistent homology to reveal hidden information in neural data. arXiv: 1510.06629.

[UZ]

Michael Usher and Jun Zhang. Persistent homology and Floer-Novikov theory. arXiv: 1502.07928.

[Zha]

Jun Zhang. \(p\)-cyclic persistent homology and Hofer distance. arXiv: 1605.07594.

[平岡裕13]

平岡裕章. タンパク質構造とトポロジー – パーシステントホモロジー群入門 –. シリーズ・現象を解明する数学. 東京: 共立出版, 2013, p. 131.