Algebraic Invariants of Matroids

Matroid は, graph や hyperplane arrangement の一般化とみなせるが, これらの代数的不変量の matroid への一般化も, 色々定義されている。

例えば, Gel\('\)fand と Rybnikov の [GR89] では, 以下のような hyperplane arrangement の不変量の一般化が定義されている。

• matroid の Orlik-Solomon algebra
• oriented matroid の Salvetti complex
• oriented matroid の Varchenko-Gel\('\)fand algebra

Matroid の Orlik-Solomon algebra については, Falk の [Fal01] を見るとよい。最後に, いくつかの open problem もまとめてある。

Proudfoot と Speyer は broken circuit ring というものを定義している。

• broken circuit ring [PS06]

これらの algebra が matroid の不変量としてどれだけ良い不変量か, というのは自然な問題である。Falk の [Fal01] には, matroid の Orlik-Solomon algebra の algebraic invariant について述べてある。 Eschenbrenner と Falk の [EF99] では Orlik-Solomon algebra が同型で Tutte polynomial が異なる matroidの存在 が示されている。

他には次のような代数的な構成がある。

• matroid の quasisymmetric function (Billera と Jia と Reiner の [BJR09], Luoto の [Luo08])
• matroid の Whitney algebra (Crapo と Schmitt の [CS00])
• matroid の Whitney module (Berget の [Ber10])

この quasisymmetric function や Tutte polynomial は valuative という性質を持つ。Derksen と Fink は [DF10] で matroid や polymatroid の valuative invariant について調べている。

Matroid の automorphism group を調べるのも面白そうである。しかも, まだあまり調べられていないようである。

• matroid の automorphism group

Matroid を幾何学的対象の一般化と考えたときには, (co)homology を定義したくなる。 実際, 以下のようなものが定義されている。

• Chow ring of matroid
• intersection cohomology of matroid [Bra+]

References

[Ber10]

Andrew Berget. “Tableaux in the Whitney module of a matroid”. In: Sém. Lothar. Combin. 63 (2010), Art. B63f, 17. arXiv: 0911.5452.

[BJR09]

Louis J. Billera, Ning Jia, and Victor Reiner. “A quasisymmetric function for matroids”. In: European J. Combin. 30.8 (2009), pp. 1727–1757. arXiv: math/0606646. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.ejc.2008.12.007.

[Bra+]

Tom Braden, June Huh, Jacob P. Matherne, Nicholas Proudfoot, and Botong Wang. Singular Hodge theory for combinatorial geometries. arXiv: 2010.06088.

[CS00]

Henry Crapo and William Schmitt. “The Whitney algebra of a matroid”. In: J. Combin. Theory Ser. A 91.1-2 (2000). In memory of Gian-Carlo Rota, pp. 215–263. url: http://dx.doi.org/10.1006/jcta.2000.3095.

[DF10]

Harm Derksen and Alex Fink. “Valuative invariants for polymatroids”. In: 22nd International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2010). Discrete Math. Theor. Comput. Sci. Proc., AN. Assoc. Discrete Math. Theor. Comput. Sci., Nancy, 2010, pp. 271–282. arXiv: 0908.2988.

[EF99]

Carrie J. Eschenbrenner and Michael J. Falk. “Orlik-Solomon algebras and Tutte polynomials”. In: J. Algebraic Combin. 10.2 (1999), pp. 189–199. arXiv: math/9805128. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1018735815621.

[Fal01]

Michael Falk. “Combinatorial and algebraic structure in Orlik-Solomon algebras”. In: European J. Combin. 22.5 (2001). Combinatorial geometries (Luminy, 1999), pp. 687–698. arXiv: math/ 0009135. url: http://dx.doi.org/10.1006/eujc.2000.0488.

[GR89]

I. M. Gel\('\)fand and G. L. Rybnikov. “Algebraic and topological invariants of oriented matroids”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 307.4 (1989), pp. 791–795.

[Luo08]

Kurt W. Luoto. “A matroid-friendly basis for the quasisymmetric functions”. In: J. Combin. Theory Ser. A 115.5 (2008), pp. 777–798. arXiv: 0704 . 0836. url: https://doi.org/10.1016/j.jcta.2007.10.003.

[PS06]

Nicholas Proudfoot and David Speyer. “A broken circuit ring”. In: Beiträge Algebra Geom. 47.1 (2006), pp. 161–166. arXiv: math / 0410069.