楕円コホモロジー

楕円コホモロジー (elliptic cohomology) という 一般(コ)ホモロジー論がある。 楕円曲線の formal group law を用いて定義された(コ)ホモロジー論であり, Springer Lecture Notes series の [Lan88] で公になった。この論文集は, 今でも楕円コホモロジーを最初に勉強するときには, よい出発点となる。Lurie による解説 [Lur09] も見るとよい。

楕円コホモロジーは, 様々な意味で “ \(K\)-theoryの次” に考えるべきコホモロジー論である。 また 数理物理などとの関 係でも注目されていて, かつての The String Coffee Table やその後継である The \(n\)-Category Café でもよく話題にのぼる。

Elliptic cohomology と quantum field theory の関係については, この nLab の記事がよくまとまっている。

• 楕円コホモロジーの構成
• 楕円コホモロジーと関連した話題
• 楕円コホモロジーで検出できる現象
• equivariant elliptic cohomology

現在では, ホモトピー論的に扱うには topological modular forms spectrum \(\mathrm {tmf}\)を使うのが良いのだろうか。\(\mathrm {tmf}\) に関する計算もいくつか発表されている。例えば, Hill は \(B\Sigma _3\) の \(3\)-local \(\mathrm {tmf}\) homology を [Hil07] で計算している。

• topological modular forms

色々なアプローチや構成があるので, 何を elliptic cohomology と呼ぶか, は人に依る。なので, 主要な性質により特徴付けようという試みもある。 例えば, Davies の [Dav] など。

Complex oriented cohomology theory は motivic homotopy theory での一般化が Levine らによって考えられているが, elliptic cohomology の類似も Levine, Yang, Zhao [Lev+19; LYZ21] により考えられている。

• algebraic elliptic cohomology

References

[Dav]

Jack Morgan Davies. Elliptic cohomology is unique up to homotopy. arXiv: 2106.07676.

[Hil07]

Michael A. Hill. “The 3-local \(\mathrm {tmf}\)-homology of \(B\Sigma _3\)”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 135.12 (2007), pp. 4075–4086. arXiv: math/0511649. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-07-08937-X.

[Lan88]

P. S. Landweber, ed. Elliptic curves and modular forms in algebraic topology. Vol. 1326. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1988, pp. vi+224. isbn: 3-540-19490-8. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0078035.

[Lev+19]

Marc Levine, Yaping Yang, Gufang Zhao, and Joël Riou. “Algebraic elliptic cohomology theory and flops I”. In: Math. Ann. 375.3-4 (2019), pp. 1823–1855. arXiv: 1311.2159. url: https://doi.org/10.1007/s00208-019-01880-x.

[Lur09]

J. Lurie. “A survey of elliptic cohomology”. In: Algebraic topology. Vol. 4. Abel Symp. Berlin: Springer, 2009, pp. 219–277. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-01200-6_9.

[LYZ21]

Marc Levine, Yaping Yang, and Gufang Zhao. “Algebraic elliptic cohomology and flops II: SL-cobordism”. In: Adv. Math. 384 (2021), pp. 107726, 66. arXiv: 1610.00396. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.107726.