Equivariant elliptic cohomology

\(v_1\)-periodic な cohomology theory の典型である \(K\)-theory と 表現論 の関係から, \(v_2\)-periodic な理論である elliptic cohomology と, Hopkins-Kuhn-Ravenel の理論 [HKR00] との関係を調べるというのは, 自然な問題である。

Equivariant elliptic cohomology に関することについては, まず この nLab の記事を読むのがよいと思う。Quantum field theory による解釈も書いてある。そこには, 文献として Ginzburg と Kapranov の [GKV] と Rosu の [Ros], そして Gepner の thesis [Gep06] が挙げられている。そのには挙げられていないが, Devoto の [Dev96] もある。

幾何学的 (?) モデルとしては, Berwick-Evans と Tripathy の [BT] がある。\(\otimes \bbC \) したものであるが。

最も新しいアプローチは, equivariant topological modular form を構成した Gepner と Meier のもの [GM23] だろうか。そのアイデアは, Lurie [Lur09] のものらしいが。

Lurie 自身は, [Lur] で tempered cohomology という equivariant elliptic cohomology を導入している。Gepner-Meier のものとの関係は, Davies の [Dav] で調べられている。

References

[BT]

Daniel Berwick-Evans and Arnav Tripathy. A model for complex analytic equivariant elliptic cohomology from quantum field theory. arXiv: 1805.04146.

[Dav]

Jack Morgan Davies. Comparing tempered and equivariant elliptic cohomology. arXiv: 2311.07958.

[Dev96]

Jorge A. Devoto. “Equivariant elliptic homology and finite groups”. In: Michigan Math. J. 43.1 (1996), pp. 3–32. url: http://dx.doi.org/10.1307/mmj/1029005387.

[Gep06]

David J. Gepner. Homotopy topoi and equivariant elliptic cohomology. Thesis (Ph.D.)–University of Illinois at Urbana-Champaign. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2006, p. 67. isbn: 978-0542-77401-0.

[GKV]

Victor Ginzburg, Mikhail Kapranov, and Eric Vasserot. Elliptic Algebras and Equivariant Elliptic Cohomology. arXiv: q-alg/9505012.

[GM23]

David Gepner and Lennart Meier. “On equivariant topological modular forms”. In: Compos. Math. 159.12 (2023), pp. 2638–2693. arXiv: 2004.10254. url: https://doi.org/10.1112/s0010437x23007509.

[HKR00]

Michael J. Hopkins, Nicholas J. Kuhn, and Douglas C. Ravenel. “Generalized group characters and complex oriented cohomology theories”. In: J. Amer. Math. Soc. 13.3 (2000), 553–594 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-00-00332-5.

[Lur]

Jacob Lurie. Elliptic Cohomology III: Tempered Cohomology. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/Elliptic-III-Tempered.pdf.

[Lur09]

J. Lurie. “A survey of elliptic cohomology”. In: Algebraic topology. Vol. 4. Abel Symp. Berlin: Springer, 2009, pp. 219–277. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-01200-6_9.

[Ros]

Ioanid Rosu. Equivariant Elliptic Cohomology and Rigidity. arXiv: math/9912089.