Riemann-Hilbert Correspondence

私が Riemann-Hilbert correspondence を知ったのは, Grothendieck が「収穫と蒔いた」[Gro93] で, Kashiwara の結果に文句を言っているのを読んだときだった。

Kashiwara [Kas84] は, regular holonomic cohomology を持つ \(\cD \)-module の derived category と constructible cohomology を持つ \(\bbC \)-vector space の sheaf の derived category の同値を示したが, これについて Grothendieck が「収穫と蒔いた」 の中で色々文句を言っているのである。 しかし, この Schapira の記事によると, その後 Schapira と Houzel が誤解を指摘し, Grothendieck も間違いであったことを認めたようである。Grothendieck による correction も Grothendieck-circle から download できる。

この Kashiwara の結果は, derived category を用いていることから分かるように, 近代的な表現である。古典的な Riemann-Hilbert correspondence は, 連結な閉多様体 \(M\) に対し, 基本群の表現の圏 \(\category {Rep}(\pi _{1}(M);\R )\) と \(M\) 上の flat connection を持つ vector bundle の圏の同値のことを言う。 更に, それは \(M\) 上の 局所系の圏とも同値である。

様々な方向への一般化が考えられているが, 最近では 高次の圏が普及したこともあり, 高次版が様々な人により考えられている。 例えば, \(\infty \)-local system を用いた Block と Smith [BS; BS14] のものがある。

• \(\infty \)-local system

Bhatt と Lurie [BL19] は正標数上の affine scheme の場合を考えている。

References

[BL19]

Bhargav Bhatt and Jacob Lurie. “A Riemann-Hilbert correspondence in positive characteristic”. In: Camb. J. Math. 7.1-2 (2019), pp. 71–217. arXiv: 1711.04148. url: https://doi.org/10.4310/CJM.2019.v7.n1.a3.

[BS]

Jonathan Block and Aaron Smith. A Riemann Hilbert correspondence for infinity local systems. arXiv: 0908.2843.

[BS14]

Jonathan Block and Aaron M. Smith. “The higher Riemann-Hilbert correspondence”. In: Adv. Math. 252 (2014), pp. 382–405. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2013.11.001.

[Gro93]

A. Grothendieck. 収穫と蒔いた種と(原題: Recoltes et Semailles – Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien –). 京都: 現代数学社, 1989, 1990, 1993.

[Kas84]

Masaki Kashiwara. “The Riemann-Hilbert problem for holonomic systems”. In: Publ. Res. Inst. Math. Sci. 20.2 (1984), pp. 319–365. url: http://dx.doi.org/10.2977/prims/1195181610.