Hopf algebra に関連した構成

Hopf algebra からは, 新しい Hopf algebra や algebra を構成する方法が色々導入されている。

まず, Hopf algebra や bialgebra が algebra に作用しているときには, crossed product や smash product と呼ばれる構成がある。 Agore [Ago13] によると Blattner, Cohen, Montogomery [BCM86] と Doi, Takeuchi [DT86] により独立に導入されたもののようである。

• 群や Hopf algebra の作用
• crossed product あるいは smash product

例えば, Sweedler の本 [Swe69] の §7.2 は smash product に関することである。

Hopf algebra (bialgebra) の matched pair に対しては, bicrossed product という構成がある。

• bicrossed product

Agore, Chirvǎsitu, Militaru [Ago+09] によると, 最初に Zappa [Zap42] により導入された後, Szép [Szé49] と Takeuchi [Tak81] により再発見されたようである。

Majid [Maj94] により導入された bosonization という構成もある。

• bosonization

与えられた Hopf algebra から新しい Hopf algebra を作る方法として, cocycle で変形する方法がある。\(k^{\times }\) に値を持つ \(2\)-cocycle で積を変形するのである。単純なアイデアとしては, 単に cocycle を掛けることが考えられるが, これでは一般には Hopf algebra の構造は得られない。Albuquerque と Majid の [AM99] で group algebra から 八元数を構成するのには用いられているが。 Hopf algebra を得るためには, cocycle の inverse も掛けた cocycle deformation という操作が必要である。 Masuoka の [Mas08] によると, Doi の [Doi93] で導入されたようである。

• cocycle deformation

新しい Hopf algebra を作る方法として, Drinfel\('\)d double という操作もある。

• Drinfel\('\)d double

References

[Ago+09]

A. L. Agore, A. Chirvăsitu, B. Ion, and G. Militaru. “Bicrossed products for finite groups”. In: Algebr. Represent. Theory 12.2-5 (2009), pp. 481–488. arXiv: math/0703471. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10468-009-9145-6.

[Ago13]

A. L. Agore. “Crossed product of Hopf algebras”. In: Comm. Algebra 41.7 (2013), pp. 2519–2542. arXiv: 1203.2454. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2012.660261.

[AM99]

Helena Albuquerque and Shahn Majid. “Quasialgebra structure of the octonions”. In: J. Algebra 220.1 (1999), pp. 188–224. arXiv: math/9802116. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1998.7850.

[BCM86]

Robert J. Blattner, Miriam Cohen, and Susan Montgomery. “Crossed products and inner actions of Hopf algebras”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 298.2 (1986), pp. 671–711. url: http://dx.doi.org/10.2307/2000643.

[Doi93]

Yukio Doi. “Braided bialgebras and quadratic bialgebras”. In: Comm. Algebra 21.5 (1993), pp. 1731–1749. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879308824649.

[DT86]

Yukio Doi and Mitsuhiro Takeuchi. “Cleft comodule algebras for a bialgebra”. In: Comm. Algebra 14.5 (1986), pp. 801–817. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927878608823337.

[Maj94]

Shahn Majid. “Cross products by braided groups and bosonization”. In: J. Algebra 163.1 (1994), pp. 165–190. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1994.1011.

[Mas08]

Akira Masuoka. “Construction of quantized enveloping algebras by cocycle deformation”. In: Arab. J. Sci. Eng. Sect. C Theme Issues 33.2 (2008), pp. 387–406. arXiv: 0804.2517.

[Swe69]

Moss E. Sweedler. Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin, Inc., New York, 1969, pp. vii+336.

[Szé49]

J. Szép. “Über die als Produkt zweier Untergruppen darstellbaren endlichen Gruppen”. In: Comment. Math. Helv. 22 (1949), 31–33 (1948). url: https://doi.org/10.1007/BF02568046.

[Tak81]

Mitsuhiro Takeuchi. “Matched pairs of groups and bismash products of Hopf algebras”. In: Comm. Algebra 9.8 (1981), pp. 841–882. url: https://doi.org/10.1080/00927878108822621.

[Zap42]

Guido Zappa. “Sulla costruzione dei gruppi prodotto di due dati sottogruppi permutabili tra loro”. In: Atti Secondo Congresso Un. Mat. Ital., Bologna, 1940. Edizioni Cremonese, Rome, 1942, pp. 119–125.