Topological Quivers

Topological quiver とは, 位相空間の category での quiver object のことである。つまり vertex の集合と arrow の集合に位相が入っていて, source および target map が連続写像になっているものである。

このようなものの用途としては, まず topological category の基礎となる構造としてのものがある。

• topological category

より具体的な応用としては, \(C^*\)-algebra の構成がある。 ただし, そのためには vertex と arrow の空間に locally compact などの条件を付けないといけない。また, source と target map についても, 局所同相などの条件をつける。

そのような構成の最初は, Deaconu の [Dea00] だろうか。そこでは source map も target map も共に局所同相と仮定されている。Katsura [Kat04; Kat06a; Kat06b] や Muhly と Tomforde の [MT] などで, より一般の topological quiver から定義された \(C^*\)-algebra が調べられている。

Deaconu と Kumjian と Quigg [DKQ] は, locally compact group の topological quiver への作用とそれから定まる \(C^*\)-algebra への作用について調べている。

References

[Dea00]

Valentin Deaconu. “Continuous graphs and \(C^*\)-algebras”. In: Operator theoretical methods (Timişoara, 1998). Theta Found., Bucharest, 2000, pp. 137–149.

[DKQ]

Valentin Deaconu, Alex Kumjian, and John Quigg. Group actions on topological graphs. arXiv: 1007.2616.

[Kat04]

Takeshi Katsura. “A class of \(C^*\)-algebras generalizing both graph algebras and homeomorphism \(C^*\)-algebras. I. Fundamental results”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 356.11 (2004), 4287–4322 (electronic). arXiv: math/0207252. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03636-0.

[Kat06a]

Takeshi Katsura. “A class of \(C^*\)-algebras generalizing both graph algebras and homeomorphism \(C^*\)-algebras. II. Examples”. In: Internat. J. Math. 17.7 (2006), pp. 791–833. arXiv: math/0405268. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X06003722.

[Kat06b]

Takeshi Katsura. “A class of \(C^*\)-algebras generalizing both graph algebras and homeomorphism \(C^*\)-algebras. III. Ideal structures”. In: Ergodic Theory Dynam. Systems 26.6 (2006), pp. 1805–1854. arXiv: math/0408190. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0143385706000320.

[MT]

Paul S. Muhly and Mark Tomforde. Topological Quivers. arXiv: math/0312109.