Topological Complexity が知られている空間

このページでは, topological complexity が計算されている空間の例を集めた。当然であるが, 全ての知られている場合を網羅したものではない。

まず Farber の論文 [Far03] に簡単な場合がある。

• 球面 \(S^{n}\) の topological complexity は, \(n\) が奇数の場合 \(2\) で, 偶数の場合 \(3\)
• 種数 \(g\) の向き付け可能な閉曲面の topological complexity は, \(g\le 1\) のとき \(3\) で, \(g>1\) のとき \(5\)

Hyperplane arrangement の complement については, Farber と Yuzvinsky の [FY04] があり, その boundary manifold の場合は, Dan Cohen と Suciu の計算 [CS06] がある。

Yuzvinsky は [Yuz07] で \(r\)次元の中の \(n\) 個の hyperplane の (generic な) arrangement の complement の topological complexity を決定している。

Arrangement と言えば configuration space であるが, Farber と Grant は, [FG09] で, Euclid 空間の configuration space の topological complexity を決定している。 向きづけ可能な曲面の configuration space の場合を調べているのが, Danial Cohen と Farber の [CF11] である。Farber と Grant と Yuzvinsky [FGY07] は, 動く障害物がある場合の topological complexity を考えている。 グラフの configuration space については, Scheirer [Sch] が tree の場合を Abrams のモデルを用いて調べている。

Configuration space の topological complexity について何が分かっているかにつては, Dan Cohen の survey [Coh] を見るとよい。

Right-angled Artin group \(G_{\Gamma }\) に対し \(K(G_{\Gamma },1)\) の topological complexity を決定したのは, Daniel Cohen と Pruidze [CP08] である。

Lens 空間の場合を, コホモロジー作用素を用いて調べているのは, Farber と Grant の [FG08] である。Grant は Massey product を使うこと [Graa] も考えている。Grant は [Grab] では, 群の作用を使うことを考えている。

References

[CF11]

Daniel C. Cohen and Michael Farber. “Topological complexity of collision-free motion planning on surfaces”. In: Compos. Math. 147.2 (2011), pp. 649–660. arXiv: 0901.0877. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X10005038.

[Coh]

Daniel C. Cohen. Topological complexity of classical configuration spaces and related objects. arXiv: 1702.07751.

[CP08]

Daniel C. Cohen and Goderdzi Pruidze. “Motion planning in tori”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 40.2 (2008), pp. 249–262. arXiv: math/0703069. url: http://dx.doi.org/10.1112/blms/bdn005.

[CS06]

Daniel C. Cohen and Alexander I. Suciu. “Boundary manifolds of projective hypersurfaces”. In: Adv. Math. 206.2 (2006), pp. 538–566. arXiv: math/0502506. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.10.003.

[Far03]

Michael Farber. “Topological complexity of motion planning”. In: Discrete Comput. Geom. 29.2 (2003), pp. 211–221. arXiv: math/0111197. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00454-002-0760-9.

[FG08]

Michael Farber and Mark Grant. “Robot motion planning, weights of cohomology classes, and cohomology operations”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 136.9 (2008), pp. 3339–3349. arXiv: 0706.2497. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-08-09529-4.

[FG09]

Michael Farber and Mark Grant. “Topological complexity of configuration spaces”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 137.5 (2009), pp. 1841–1847. arXiv: 0806.4111. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-08-09808-0.

[FGY07]

Michael Farber, Mark Grant, and Sergey Yuzvinsky. “Topological complexity of collision free motion planning algorithms in the presence of multiple moving obstacles”. In: Topology and robotics. Vol. 438. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 75–83. arXiv: math/0609476. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/438/08446.

[FY04]

Michael Farber and Sergey Yuzvinsky. “Topological robotics: subspace arrangements and collision free motion planning”. In: Geometry, topology, and mathematical physics. Vol. 212. Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 145–156. arXiv: math/0210115.

[Graa]

Mark Grant. Topological complexity of motion planning and Massey products. arXiv: 0709.2287.

[Grab]

Mark Grant. Topological complexity, fibrations and symmetry. arXiv: 1104.2755.

[Sch]

Steven Scheirer. Topological complexity of n points on a tree. arXiv: 1607.08185.

[Yuz07]

Sergey Yuzvinsky. “Topological complexity of generic hyperplane complements”. In: Topology and robotics. Vol. 438. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 115–119. arXiv: math/0701445.