Operad 上の algebra に対する (co)homology

Associative algebra は, associative operad 上の algebra である。この視点から, associative algebra に対する Hochschild homology を, operad の言葉で表わすこともできる。そして, それをより一般の operad に対し拡張することもできる。

• Quadratic Koszul operad \(\mathcal{P}\) 上の algebra \(A\) に対し, operadic cohomology \(H_{\mathcal{P}}^*(A;A)\) の定義。 [MSS02]
• Quadratic Koszul operad \(\mathcal{P}\) に対し, \(C_{\mathcal{P}}^*(A;A)\) 上の natural operation の成す dg operad \(\mathcal{B}_{\mathcal{P}}\) の定義。[Mar07]
• Kontsevich と Soibelman による operad の cobar resolution [KS00]

Kontsevich と Soibelman の cobar construction を一般化するのが, Berger と Moerdijk の \(W\)-construction [BM06] である。 これは, 代数的な operad に限らず行なえる。

André-Quillen homology の定義を拡張することもできる。Simplicial operad 上の simplicial algebra については Goerss と Hopkins の [GH00] で, differential graded version については, Hinich の [Hin97] で定義されている。

M. Ching は, [Chi12] で pseudomonoidal category の monoid object に対し, simplicial bar construction が定義されることを確かめている。そして, それは operad の standard simplicial bar construction の一般化になっている。

• Operad 上の algebra の bar construction
• \(E_{\infty }\)-algebra の bar constructionが, また \(E_{\infty }\)-algebra の構造を持つこと (Fresse の [Fre10])

Fresse のこの結果の続編が, [Fre] である。そこでは, bar construction が更に Hopf \(E_{\infty }\)-algebra の構造を持つことが示されている。

Markl は [Mar07] で \(\mathcal{B}_{\mathcal{P}}\) を定義し, その性質についての多数の問題を提起している。この dg operad を調べることにより, Deligne conjecture の別証が得られるようである。

Getzler と Kapranov は, [GK95] で cyclic operad を導入したが, その目的は, cyclic homology を cyclic operad 上の algebra に拡張することだった。

• cyclic operad 上の algebra の cyclic homology

References

[BM06]

Clemens Berger and Ieke Moerdijk. “The Boardman-Vogt resolution of operads in monoidal model categories”. In: Topology 45.5 (2006), pp. 807–849. arXiv: math/0502155. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2006.05.001.

[Chi12]

Michael Ching. “A note on the composition product of symmetric sequences”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 7.2 (2012), pp. 237–254. arXiv: math/0510490. url: https://doi.org/10.1007/s40062-012-0007-2.

[Fre]

Benoit Fresse. The universal Hopf operads of the bar construction. arXiv: math/0701245.

[Fre10]

Benoit Fresse. “The bar complex of an \(E\)-infinity algebra”. In: Adv. Math. 223.6 (2010), pp. 2049–2096. arXiv: math/0601085. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2009.08.022.

[GH00]

Paul G. Goerss and Michael J. Hopkins. “André-Quillen (co)-homology for simplicial algebras over simplicial operads”. In: Une dégustation topologique [Topological morsels]: homotopy theory in the Swiss Alps (Arolla, 1999). Vol. 265. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000, pp. 41–85. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/265/04243.

[GK95]

E. Getzler and M. M. Kapranov. “Cyclic operads and cyclic homology”. In: Geometry, topology, & physics. Conf. Proc. Lecture Notes Geom. Topology, IV. Int. Press, Cambridge, MA, 1995, pp. 167–201.

[Hin97]

Vladimir Hinich. “Homological algebra of homotopy algebras”. In: Comm. Algebra 25.10 (1997), pp. 3291–3323. arXiv: q-alg/9702015. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879708826055.

[KS00]

Maxim Kontsevich and Yan Soibelman. “Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture”. In: Conférence Moshé Flato 1999, Vol. I (Dijon). Vol. 21. Math. Phys. Stud. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2000, pp. 255–307. arXiv: math/0001151.

[Mar07]

M. Markl. “Cohomology operations and the Deligne conjecture”. In: Czechoslovak Math. J. 57(132).1 (2007), pp. 473–503. arXiv: math/0506170. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10587-007-0074-4.

[MSS02]

Martin Markl, Steve Shnider, and Jim Stasheff. Operads in algebra, topology and physics. Vol. 96. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002, pp. x+349. isbn: 0-8218-2134-2. url: https://doi.org/10.1090/surv/096.