Examples of Simplicial Sets

代数的トポロジーで登場する simplicial set の例としては, まず singular simplicial set がある。

• singular simplicial set

可微分多様体な場合は, 可微分な singular simplex を考えることができる。

• smooth singular simplicial set

Friedman, Medina-Mardones, Sinha [FMS] は, その一般化として, 指定された可算個の manifold with corners からの写像と transversal なものから成る simplicial subset を定義している。

• transverse singular simplicial set

基本的なものとして, Yoneda embedding \(\Delta \to \Set ^{\Delta ^{\op }}\) で \([n]\) に対応するものがある。これは, \(n\)単体の simplicial set 版であり \(\Delta ^{n}\) と表されることが多い。

より一般に, ordered simplicial complex は, 自然な方法で simplicial set とみなすことができる。

• ordered simplicial set から生成された simplicial set

Abstract simplicial complex を simplicial set にするには, 人工的に頂点に順序を決めて ordered simplicial set としないといけないが, abstract simplicial complex の構成をよく見ると simplicial set の構成になっている場合も多い。例えば, Abels と Holz [AH93] に書かれているように, 集合 \(X\) の covering \(\mathcal {U}\) から, 所謂 nerve の構成により作られる abstract simplicial complex \(N(\mathcal {U})\) があ るが, これを simplicial set にするのは難しくない。

• nerve of covering

これは, 普通は位相空間の open covering に対して考えるものであるが, それについては Segal の [Seg68] を見るとよい。そしてその一般化である, small category の nerve は simplicial set の重要な例である。

• small category の nerve と分類空間

References

[AH93]

Herbert Abels and Stephan Holz. “Higher generation by subgroups”. In: J. Algebra 160.2 (1993), pp. 310–341. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1993.1190.

[FMS]

Greg Friedman, Anibal M. Medina-Mardones, and Dev Sinha. The transverse singular complex. arXiv: 2604.27984.

[Seg68]

Graeme Segal. “Classifying spaces and spectral sequences”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 34 (1968), pp. 105–112. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__105_0.