Examples of Simplicial Sets

代数的トポロジーで登場する simplicial set の例としては, まず singular simplicial set がある。

• singular simplicial set

また ordered simplicial complex は, 自然な方法で simplicial set とみなすことができる。

• ordered simplicial set から生成された simplicial set

Abstract simplicial complex を simplicial set にするには, 人工的に頂点に順序を決めて ordered simplicial set としないといけないが, abstract simplicial complex の構成をよく見ると simplicial set の構成になっている場合も多い。例えば, Abels と Holz [AH93] に書かれているように, 集合 \(X\) の covering \(\mathcal{U}\) から, 所謂 nerve の構成により作られる abstract simplicial complex \(N(\mathcal{U})\) があ るが, これを simplicial set にするのは難しくない。

• nerve of covering

これは, 普通は位相空間の open covering に対して考えるものであるが, それについては Segal の [Seg68] を見るとよい。そしてその一般化である, small category の nerve は simplicial set の重要な例である。

• small category の nerve と分類空間

References

[AH93]

Herbert Abels and Stephan Holz. “Higher generation by subgroups”. In: J. Algebra 160.2 (1993), pp. 310–341. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1993.1190.

[Seg68]

Graeme Segal. “Classifying spaces and spectral sequences”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 34 (1968), pp. 105–112. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__105_0.