Thomason’s Homotopy Colimit Theorem

Small category \(I\) により index された small category の diagram, つまり functor \[ X : I \longrightarrow \category {Cat} \] が与えられたとき, Grothendieck construction を取ることにより, その図式を1つの small category \(\mathrm {Gr}(X)\) にすることができる。一方, 各 object \(i\in I_0\) に対し, \(X(i)\) の 分類空間を取ると位相空間の図式 \[ BX : I \longrightarrow \category {Top} \] ができる。ホモトピー論で空間の図式が与えられたら, それをまとめて1つの空間にするには homotopy (co)limit を取るのが常套手段である。

その二つの構成の関係を正確に述べて証明したのが, Thomason [Tho79] である。その結果 \[ \hocolim BX \relation {\simeq }{w} B\mathrm {Gr}(X) \] は, Thomason の homotopy colimit theorem と呼ばれている。

Bousfield と Kan [BK72] は homotopy colimit を, 位相空間ではなく simplicial set の図式に対して定義したので, 幾何学的実現を取る前の simplicial set の関係 \[ \hocolim NX \relation {\simeq }{w} N\mathrm {Gr}(X) \] として述べた方が良いかもしれない。実際, Thomason が証明しているのはこれである。Simplicial set で考えると, Bousfield と Kan が [BK72] の Chapter XII で Proposition 2.3 として述べている homotopy colimit の特徴付けが使えるが, Thomason はそれを用いた簡潔な証明も述べている。その中で次の自然な category の同型があることが示されている。 \[ C(\hocolim _{I} NX) \cong \mathrm {Gr}(X) \] ここで \(C\) は nerve functor の left adjoint で, simplicial set の \(0\)-simplex を object, \(1\)-simplex を morphism とし, \(2\)-simplex から定まる関係により合成を定義して small category を作る操作である。 Thomason は categorization と呼んでいる。

• categorization

一般化も色々考えられている。 Bicategory に対する一般化は, Cegarra の [Ceg11] で得られている。

Monoidal category は object 1つの bicategory であるから, Cegarra の結果は monoidal category の図式に対して homotopy colimit theorem を拡張したことになっている。

それの, braided monoidal category, つまり object 1つの tricategory への一般化を考えたのが, Garzon と Perez の [GP12] である。

References

[BK72]

A. K. Bousfield and D. M. Kan. Homotopy limits, completions and localizations. Vol. 304. Lecture Notes in Mathematics. 2nd corrected printing 1987. Berlin: Springer-Verlag, 1972, p. v 348.

[Ceg11]

A. M. Cegarra. “Homotopy fiber sequences induced by 2-functors”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.4 (2011), pp. 310–334. arXiv: 0909.4229. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.04.022.

[GP12]

A. R. Garzón and R. Pérez. “A homotopy colimit theorem for diagrams of braided monoidal categories”. In: Homology Homotopy Appl. 14.1 (2012), pp. 19–32. arXiv: 1103.4485. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2012.v14.n1.a2.

[Tho79]

R. W. Thomason. “Homotopy colimits in the category of small categories”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 85.1 (1979), pp. 91–109. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100055535.