Milnor-Moore Theorem

Hopf algebra \(H\) の primitive element 全体 \(P(H)\) は Lie algebra の構造を持つ。 一方, Lie algebra \(\mathfrak {g}\) からは, universal enveloping algebra \(U(\mathfrak {g})\) として primitively generated Hopf algebra が得られる。 この \(P\) と \(U\) という2つの関手の関係を明確にしたのが, Milnor-Moore theorem である。

名前の通り Milnor と Moore の論文 [MM65] で証明された, と思っていたら, Westerland の [Wes] では, Cartier-Milnor-Moore theorem と呼ばれ, Cartier の [Car62] が参照されている。 更に, Catoire の [Cat] では Cartier-Quillen-Milnor-Moore theorem と呼ばれている。

Milnor と Moore が示したのは, 標数 \(0\) の体上では, \(P\) と \(U\) が primitively generated bialgebra の圏と Lie algebra の圏の間の圏同値を与えることである。 Milnor と Moore の論文では “Hopf algebra” と書かれているが, 現代の言葉では bialgebra のことなので注意が必要である。

正標数の場合も, primitively generated bialgebra と restricted Lie algebra 間の圏同値として得られている。

その後, 色々な一般化が考えられている。

• cofree Hopf algebra [LR06]
• vertex bialgebra [BG22]
• braided bialgebra [Kha07; Ard11]
• braided Hopf algebra [Wes]
• post-Hopf algebra [Cat]

References

[Ard11]

Alessandro Ardizzoni. “A Milnor-Moore type theorem for primitively generated braided bialgebras”. In: J. Algebra 327 (2011), pp. 337–365. arXiv: 1003.1085. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.07.031.

[BG22]

C. Boyallian and J. Guzman. “Formal vertex laws associated to Lie conformal algebras”. In: J. Math. Phys. 63.7 (2022), Paper No. 071701, 15. arXiv: 2004.02991. url: https://doi.org/10.1063/5.0092155.

[Car62]

P. Cartier. “Groupes algébriques et groupes formels”. In: Colloq. Théorie des Groupes Algébriques (Bruxelles, 1962). Librairie Universitaire, Louvain, 1962, pp. 87–111.

[Cat]

Pierre Catoire. The Cartier-Quillen-Milnor-Moore theorem in the Post-Hopf case. arXiv: 2401.09116.

[Kha07]

V. K. Kharchenko. “Connected braided Hopf algebras”. In: J. Algebra 307.1 (2007), pp. 24–48. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.02.037.

[LR06]

Jean-Louis Loday and María Ronco. “On the structure of cofree Hopf algebras”. In: J. Reine Angew. Math. 592 (2006), pp. 123–155. arXiv: math/0405330. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2006.025.

[MM65]

John W. Milnor and John C. Moore. “On the structure of Hopf algebras”. In: Ann. of Math. (2) 81 (1965), pp. 211–264. url: http://dx.doi.org/10.2307/1970615.

[Wes]

Craig Westerland. Structure theorems for braided Hopf algebras. arXiv: 2406.13874.