Grassmann 多様体の(コ)ホモロジー

Grassmann多様体 は, 直交群やユニタリ群の 分類空間 を近似するので, そのコホモロジーは, 特性類を使うときに必要になる。 例えば, Toda と Mimura の本 [戸三78; MT91] には, 関連した空間のコホモロジーも含めて書いてある。

Steenrod algebraの作用については, 複素 Grassmann 多様体の場合, Lenart の [Len98] がある。

複素 Grassmann 多様体の rational cohomology の環としての表示は, 古くから知られている。この Polymath Jr project [qG22] では, Glover と Homer の [GH78] の §2 が参照されている。 Armand Borel の仕事とされているが。

実 Grassmann 多様体の場合, 特に integral cohomology は面倒であるが, 何人かの人が調べている。Casian と Kodama の [CK], Berry と Tilton の [BT] など。

実 Grassmann 多様体の Morava \(K\)-theory については, Kuhn と Lloyd の [KL24] がある。

関連した話題として, Schubert calculus がある。

• Schubert calculus

References

[BT]

Eric Berry and Scotty Tilton. The cohomology of real Grassmannians via Schubert stratifications. arXiv: 2011.07695.

[CK]

Luis Casian and Yuji Kodama. On the cohomology of real Grassmann manifolds. arXiv: 1309.5520.

[GH78]

Henry Glover and Bill Homer. “Endomorphisms of the cohomology ring of finite Grassmann manifolds”. In: Geometric applications of homotopy theory (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), I. Vol. 657. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin-New York, 1978, pp. 170–193. isbn: 3-540-08858-X.

[KL24]

Nicholas J. Kuhn and Christopher J. R. Lloyd. “Computing the Morava \(K\)-theory of real Grassmannians using chromatic fixed point theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 24.2 (2024), pp. 919–950. arXiv: 2111.08812. url: https://doi.org/10.2140/agt.2024.24.919.

[Len98]

Cristian Lenart. “The combinatorics of Steenrod operations on the cohomology of Grassmannians”. In: Adv. Math. 136.2 (1998), pp. 251–283. arXiv: math/9707219. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1731.

[MT91]

Mamoru Mimura and Hirosi Toda. Topology of Lie groups. I, II. Vol. 91. Translations of Mathematical Monographs. Translated from the 1978 Japanese edition by the authors. Providence, RI: American Mathematical Society, 1991, pp. iv+451. isbn: 0-8218-4541-1.

[qG22]

The 2020 Polymath Jr. "q-binomials and the Grassmannian" group. “Filtering cohomology of ordinary and Lagrangian Grassmannians”. In: Involve 15.2 (2022), pp. 271–288. arXiv: 2011.03179. url: https://doi.org/10.2140/involve.2022.15.271.

[戸三78]

戸田宏 and 三村護. リー群の位相(上). Vol. 14-A. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1978.