Combinatorial C∗-algebra

Exel は [Exe08] で combinatorial \(C^*\)-algebra という言葉を用いている。正確に定義された数学用語ではなく, 組み合せ論的データから作られる \(C^*\)-algebra という意味で用いている。 代表的なものとして, グラフの \(C^*\)-algebra がある。

• グラフの \(C^*\)-algebra

上記の Exel の論文の Introduction には, 様々な参考文献が挙げられているが, 中でも Raeburn の [Rae05] が良いと書いてある。

Exel は, Farthing とMuhly と Yeend の [FMY05] と Paterson の [Pat02] のように、多くの combinatorial \(C^*\)-algebra が inverse semigroup を経由して定義されていることに着目している。つまり, 組み合せ論的データから inverse semigroup を作り, そこから groupoid, そして \(C^*\)-algebra が作られるという手順である。

Poset との関係では, Meyer と Nest の finite space 上の \(C^*\)-algebra の研究 [MN09] を組み合せ論的に発展させると面白そうな気がする。

Cuntz [Cun02] による abstract simplicial complex から作られる \(C^*\)-algebra も, 組み合せ論的データからできる \(C^*\)-algebra と言っていいだろう。

References

[Cun02]

J. Cuntz. “Noncommutative simplicial complexes and the Baum-Connes conjecture”. In: Geom. Funct. Anal. 12.2 (2002), pp. 307–329. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00039-002-8248-6.

[Exe08]

Ruy Exel. “Inverse semigroups and combinatorial \(C^\ast \)-algebras”. In: Bull. Braz. Math. Soc. (N.S.) 39.2 (2008), pp. 191–313. arXiv: math/0703182. url: https://doi.org/10.1007/s00574-008-0080-7.

[FMY05]

Cynthia Farthing, Paul S. Muhly, and Trent Yeend. “Higher-rank graph \(C^*\)-algebras: an inverse semigroup and groupoid approach”. In: Semigroup Forum 71.2 (2005), pp. 159–187. arXiv: math/0409505. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00233-005-0512-2.

[MN09]

Ralf Meyer and Ryszard Nest. “\(C^*\)-algebras over topological spaces: the bootstrap class”. In: Münster J. Math. 2 (2009), pp. 215–252. arXiv: 0712.1426.

[Pat02]

Alan L. T. Paterson. “Graph inverse semigroups, groupoids and their \(C^*\)-algebras”. In: J. Operator Theory 48.3, suppl. (2002), pp. 645–662. arXiv: math/0304355.

[Rae05]

Iain Raeburn. Graph algebras. Vol. 103. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, 2005, pp. vi+113. isbn: 0-8218-3660-9.