数理物理学に現われる Hopf algebra

数理物理学に関係した Hopf algebra としては, 量子群が代表的である。

• 量子群

しかしながら, 他にも Hopf algebra は使い道があるようで, Brouder は “Quantum field theory meets Hopf algebras’’ [Bro09] という解説を書いている。それによると, 既に1969年に出版された本 [Rue69] に現われているようである。

現在使われているような renormalization のための Connes-Kreimer Hopf algebra の起源は, D. Kreimer の [Kre98], Connes とKreimer の [CK98] である。その解説として, Figueroa と Garcia-Bondia の [FG] がある。

• Connes-Kreimer Hopf algebra
• treeから作られる Hopf algebra

Brouder の解説は, 逆に quantum field theory の概念を知っていると, Hopf algebra を理解するのにも役立つとも言っている。

Connes-Kreimer の Hopf algebra は, perturbative expansion に現われる組み合せ論的構造を記述するものであるが, Blasiak ら [Bla+] によると, 量子論で重要な役割を果している組み合せ論的構造は色々あるらしい。他にも [Sol+; Duc+] などを見るとよい。

Semikhatov と Tupunin [ST12] は conformal field theory の screening operator というものを braided Hopf algebra, 特に Nichols algebra として扱うことを提案している。

• braided Hopf algebra
• Nichols algebra

Semikhatov [Sem] は, 更に, その逆の対応を考えている。

References

[Bla+]

P. Blasiak, G. H. E. Duchamp, A. I. Solomon, A. Horzela, and K. A. Penson. Combinatorial Algebra for second-quantized Quantum Theory. arXiv: 1001.4964.

[Bro09]

Christian Brouder. “Quantum field theory meets Hopf algebra”. In: Math. Nachr. 282.12 (2009), pp. 1664–1690. arXiv: hep-th/0611153. url: http://dx.doi.org/10.1002/mana.200610828.

[CK98]

Alain Connes and Dirk Kreimer. “Hopf algebras, renormalization and noncommutative geometry”. In: Comm. Math. Phys. 199.1 (1998), pp. 203–242. arXiv: hep-th/9808042. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200050499.

[Duc+]

Gérard Henry Edmond Duchamp, Vincel Hoang Ngoc Minh, Allan I. Solomon, and Silvia Goodenough. An interface between physics and number theory. arXiv: 1011.0523.

[FG]

Hector Figueroa and Jose M. Gracia-Bondia. Combinatorial Hopf algebras in quantum field theory I. arXiv: hep-th/0408145.

[Kre98]

Dirk Kreimer. “On the Hopf algebra structure of perturbative quantum field theories”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 2.2 (1998), pp. 303–334. arXiv: q-alg/9707029.

[Rue69]

David Ruelle. Statistical mechanics: Rigorous results. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969, pp. xi+219.

[Sem]

A. M. Semikhatov. Virasoro central charges for Nichols algebras. arXiv: 1109.1767.

[Sol+]

Allan I. Solomon, Gérard Henry Edmond Duchamp, Pawel Blasiak, Andrzej Horzela, and Karol A. Penson. From Quantum Mechanics to Quantum Field Theory: The Hopf route. arXiv: 1011.0524.

[ST12]

A. M. Semikhatov and I. Yu. Tipunin. “The Nichols algebra of screenings”. In: Commun. Contemp. Math. 14.4 (2012), pp. 1250029, 66. arXiv: 1101.5810. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0219199712500290.