Synthetic Spectra

Pstragowski は, [Pst23] で synthetic spectrum の概念を導入した。

Adams-type spectrum という種類の ring spectrum \(E\) に対し, \(E\) 上の finite \(E\)-projective spectrum の成す \((\infty ,1)\)-category を \(\category {Sp}_{E}^{fp}\) と表したとき, その上に Grothendieck topology を定義し, その site 上の spherical sheaf を \(E\) 上の synthetic spectrum という。Spherical sheaf とは sum を product に変換する \(\category {Sp}_{E}^{fp}\) 上の spectrum に値を持つ sheaf のことである。

• finite \(E\)-projective spectrum
• Adams-type spectrum
• spherical sheaf

Carrick と Davies の [CD] に書かれているように \(E\) 上の synthetic spectrum の成す \((\infty ,1)\)-category \(\category {Syn}_{E}\) は \(E\) に基づいた Adams spectral sequence の categorification のようなものである。

Pstragowski によると, そのアイデアの起源は commutative ring spectrum の realization に関する Goerss と Hopkins の仕事 [GH00; GH04] のようである。 実際, synthetic な視点からの Goerss-Hopkins の仕事の一般化が [PV22] で得られている。

Burklund が, 彼の website で Cookware という解説の draft を公開しているが, まだまだ未完成のようである。 Pstragowski の論文 [Pst23] を読むのが良いと思う。

その §1.2 に様々な応用が書かれているので, それを見てどういうことに使えるかを確認してから勉強するのが良いと思う。

例えば, Baues と Janelidze [BJ] による Adams spectral sequence の \(E_{3}\)-term に関する結果の synthetic spectrum による解釈が, Chua [Chu] により得られている。

References

[BJ]

Hans Joachim Baues and Mamuka Jibladze. Computation of the \(E_3\)-term of the Adams spectral sequence. arXiv: math/0407045.

[CD]

Christian Carrick and Jack Morgan Davies. A synthetic approach to detecting \(v_1\)-periodic families. arXiv: 2401.16508.

[Chu]

Dexter Chua. The \(E_3\) page of the Adams spectral sequence. arXiv: 2105.07628.

[GH00]

Paul G. Goerss and Michael J. Hopkins. “André-Quillen (co)-homology for simplicial algebras over simplicial operads”. In: Une dégustation topologique [Topological morsels]: homotopy theory in the Swiss Alps (Arolla, 1999). Vol. 265. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000, pp. 41–85. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/265/04243.

[GH04]

P. G. Goerss and M. J. Hopkins. “Moduli spaces of commutative ring spectra”. In: Structured ring spectra. Vol. 315. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 151–200. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511529955.009.

[Pst23]

Piotr Pstragowski. “Synthetic spectra and the cellular motivic category”. In: Invent. Math. 232.2 (2023), pp. 553–681. arXiv: 1803.01804. url: https://doi.org/10.1007/s00222-022-01173-2.

[PV22]

Piotr Pstragowski and Paul VanKoughnett. “Abstract Goerss-Hopkins theory”. In: Adv. Math. 395 (2022), Paper No. 108098. arXiv: 1904.08881. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.108098.