Universal Category

群という概念が導入された動機から考えれば当然であるが, 様々な数学的構造の automorphism group が考えられてきた。 そして automorphism group を考える正しい枠組みは 圏である。

どんな群も圏 \(\bm {C}\) のある object の automorphism group と同型になるとき, \(\bm {C}\) は universal category であるという。 任意の有限群が automorphism group として実現できるときは, finitely universal category という。任意の可算群が automorphism group として実現できるときには, countably universal という。 Díaz Ramos, Molinier, Viruel [DMV] は, [Bab95] の §4.1 を参照している。

• universal category
• finitely universal category
• countably universal category

この universal category という言葉は使われていないが, 群を automoprhism group として実現するという問題は, 古くから考えられてきた。 例えば, Steiner system という組み合せ論的構造については, Mendelsohn [Men78] により調べられている。

• Steiner triple system の圏は finitely universal
• Steiner quadruple system の圏は finitely universal

Díaz Ramos らの論文の Introduction には, 次のような例が挙げられている。

• 単純 グラフの圏は universal [Fru39; Gro59; Sab60]
• 任意の体上の associative algebra の圏は finitely universal [Cos+22]
• rational elliptic space の圏は universal [CV14]
• 次元 \(2\) 以上の双曲多様体の圏は finitely universal [BL05]

彼等自身は, partial group の圏が universal であることを示している。その動機は, 群の圏が finitely universal でもないことのようである。

Gareth Jones [Jon20] によると, 有限群は dessin d’enfant の automorphism group としても実現できるようである。 Viruel は, Cañas, Hidalgo, Javier Turiel と共に [Cañ+22] で noncompact dessin d’enfant の automorphism group として任意の可算群が実現できることを示している。

• dessin d’enfant の圏は finitely universal
• noncompact dessin d’enfant の圏は countably universal

References

[Bab95]

László Babai. “Automorphism groups, isomorphism, reconstruction”. In: Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2. Elsevier Sci. B. V., Amsterdam, 1995, pp. 1447–1540.

[BL05]

Mikhail Belolipetsky and Alexander Lubotzky. “Finite groups and hyperbolic manifolds”. In: Invent. Math. 162.3 (2005), pp. 459–472. arXiv: math/0406607. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-005-0446-z.

[Cañ+22]

Alejandro Cañas, Rubén A. Hidalgo, Francisco Javier Turiel, and Antonio Viruel. “Groups as automorphisms of dessins d’enfants”. In: Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís. Nat. Ser. A Mat. RACSAM 116.4 (2022), Paper No. 160, 9. arXiv: 2108.00900. url: https://doi.org/10.1007/s13398-022-01285-7.

[Cos+22]

Cristina Costoya, Panagiote Ligouras, Alicia Tocino, and Antonio Viruel. “Regular evolution algebras are universally finite”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 150.3 (2022), pp. 919–925. arXiv: 2002.03338. url: https://doi.org/10.1090/proc/15648.

[CV14]

Cristina Costoya and Antonio Viruel. “Every finite group is the group of self-homotopy equivalences of an elliptic space”. In: Acta Math. 213.1 (2014), pp. 49–62. arXiv: 1106.1087. url: https://doi.org/10.1007/s11511-014-0115-4.

[DMV]

Antonio Díaz Ramos, Rémi Molinier, and Antonio Viruel. Path partial groups. arXiv: 2107.14084.

[Fru39]

R. Frucht. “Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe”. In: Compositio Math. 6 (1939), pp. 239–250. url: http://www.numdam.org/item?id=CM_1939__6__239_0.

[Gro59]

J. de Groot. “Groups represented by homeomorphism groups”. In: Math. Ann. 138 (1959), pp. 80–102. url: https://doi.org/10.1007/BF01369667.

[Jon20]

Gareth Aneurin Jones. “Automorphism groups of maps, hypermaps and dessins”. In: Art Discrete Appl. Math. 3.1 (2020), Paper No. 1.06, 14. arXiv: 1805.09764. url: https://doi.org/10.26493/2590-9770.1275.e77.

[Men78]

Eric Mendelsohn. “On the groups of automorphisms of Steiner triple and quadruple systems”. In: J. Combin. Theory Ser. A 25.2 (1978), pp. 97–104. url: https://doi.org/10.1016/0097-3165(78)90072-9.

[Sab60]

Gert Sabidussi. “Graphs with given infinite group”. In: Monatsh. Math. 64 (1960), pp. 64–67. url: https://doi.org/10.1007/BF01319053.