Monoidal category 上 のmodule category

環上の module や 群の作用する集合といった概念の一般化として, Monoidal category \(\bm {V}\) の monoid object の \(\bm {V}\) の object への作用を考えることができる。その“レベルを一つ上げた”, monoidal category の他の category への作用も様々な場面で登場する。

Capucci と Gavranović が解説 [CG] を書いているが, そこでは, そのような作用を持つ category を actegory と呼でいる。 ここでは作用の一般化と考え, 単に monoidal category の作用ということにする。 Capucci と Govranović が解説を書いた動機は, 最近 applied category theory でよく使われるようになったから, のようである。

群 (monoid) の作用の定義は monoid の定義とほとんど同じなので, monoidal category の作用の定義も monoidal category の定義とほとんど同じになる。自分で考えても, Ostrik の [Ost03a] などの文献の定義と同じになる だろう。

• monoidal category 上の left module, right module, bimodule category

Ostrik [Ost03a] によると, monoidal category 上の module は, Berstein の Tel-Aviv 大学での1992年の講義 [Ber] や Crane と Frenkel の [CF94] で登場したのが最初のようである。

よく調べられているのは, 表現論に関係したものである。Ostrik の [Ost03a; Ost03b] の他には, Tambara の [Tam01], Andruskiewitsch と Mombelli の [AM07], Mombelli の [Mom10; Mom11] など。

de Silva と Munch と Stefanou [SMS18] は, poset \([0,\infty )\) を, 和により monoidal category と考えたものの作用する category を category with flow と呼んで調べている。 その目的は, persistence module の interleaving distance の一般化を定義するためである。

加群の類似で, monoidal category 上の right module と left module があったときには, その tensor product を考えたくなる。 有名なのは, Deligne [Del90] によるもので, monoidal category が ベクトル空間の成す category の場合である。

• Deligne tensor product

より一般の場合は, Douglas と Schommer-Pries と Snyder の [DSS19] の冒頭に挙げられている文献を見るとよい。Douglas らは, bimodule を用いた構成を与えている。

有限生成自由 Abel 群の bounded chain complex の成す monoidal category の作用する exact category は complicial exact category と呼ばれ, algebraic \(K\)-theory の要請から考えられるようになったようである。Hiranouchi と Mochizuki の [HM] では, Schlichting の lecture note [Sch11] が参照されている。 その原型は, Thomason と Trobaugh [TT90] の complicial biWaldhausen category だと思うが。

• complicial biWaldhausen category
• complicial exact category

References

[AM07]

Nicolás Andruskiewitsch and Juan Martín Mombelli. “On module categories over finite-dimensional Hopf algebras”. In: J. Algebra 314.1 (2007), pp. 383–418. arXiv: math/0608781. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2007.04.006.

[Ber]

Joseph Bernstein. Sacler lectures. arXiv: q-alg/9501032.

[CF94]

Louis Crane and Igor B. Frenkel. “Four-dimensional topological quantum field theory, Hopf categories, and the canonical bases”. In: J. Math. Phys. 35.10 (1994). Topology and physics, pp. 5136–5154. url: http://dx.doi.org/10.1063/1.530746.

[CG]

Matteo Capucci and Bruno Gavranović. Actegories for the Working Amthematician. arXiv: 2203.16351.

[Del90]

P. Deligne. “Catégories tannakiennes”. In: The Grothendieck Festschrift, Vol. II. Vol. 87. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1990, pp. 111–195.

[DSS19]

Christopher L. Douglas, Christopher Schommer-Pries, and Noah Snyder. “The balanced tensor product of module categories”. In: Kyoto J. Math. 59.1 (2019), pp. 167–179. arXiv: 1406.4204. url: https://doi.org/10.1215/21562261-2018-0006.

[HM]

Toshiro Hiranouchi and Satoshi Mochizuki. Quasi-weak equivalences in complicial exact categories. arXiv: 1009.4608.

[Mom10]

Martín Mombelli. “Module categories over pointed Hopf algebras”. In: Math. Z. 266.2 (2010), pp. 319–344. arXiv: 0811.4090. url: https://doi.org/10.1007/s00209-009-0571-2.

[Mom11]

Martín Mombelli. “Representations of tensor categories coming from quantum linear spaces”. In: J. Lond. Math. Soc. (2) 83.1 (2011), pp. 19–35. arXiv: 0907.4517. url: https://doi.org/10.1112/jlms/jdq059.

[Ost03a]

Victor Ostrik. “Module categories, weak Hopf algebras and modular invariants”. In: Transform. Groups 8.2 (2003), pp. 177–206. arXiv: math/0111139. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00031-003-0515-6.

[Ost03b]

Viktor Ostrik. “Module categories over the Drinfeld double of a finite group”. In: Int. Math. Res. Not. 27 (2003), pp. 1507–1520. arXiv: math/0202130. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792803205079.

[Sch11]

Marco Schlichting. “Higher algebraic \(K\)-theory”. In: Topics in algebraic and topological \(K\)-theory. Vol. 2008. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 2011, pp. 167–241. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-15708-0_4.

[SMS18]

V. de Silva, E. Munch, and A. Stefanou. “Theory of interleavings on categories with a flow”. In: Theory Appl. Categ. 33 (2018), Paper No. 21, 583–607. arXiv: 1706.04095.

[Tam01]

Daisuke Tambara. “Invariants and semi-direct products for finite group actions on tensor categories”. In: J. Math. Soc. Japan 53.2 (2001), pp. 429–456. url: http://dx.doi.org/10.2969/jmsj/05320429.

[TT90]

R. W. Thomason and Thomas Trobaugh. “Higher algebraic \(K\)-theory of schemes and of derived categories”. In: The Grothendieck Festschrift, Vol. III. Vol. 88. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1990, pp. 247–435. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4576-2_10.