Group Theory of 2-Groups

\(2\)-group は, category の category での group object なので, 高次の圏の一種である。 もちろん, 群の高次化として導入されたものなので, 群論の類似 (拡張) も考えられている。

Pfeiffer は, [Pfe07] で group algebra の類似を考えている。またBaez らは, loop group との関係について [Bae+07] で考察している． Loop group との関連としては, Ganter の [Gan18]で考えている \(2\)-group の extension もある。

\(2\)-group の secondary vector space を用いた表現を調べたものとして, Rumynin と Wendland の [RW18] がある。

表現論的には, 以下のようなことも考えられている。

• Gel’fand-Naimark duality の \(2\)-group 版
• Tannaka-Krein duality の \(2\)-group 版

Pfeiffer によると，\(2\)-group の group ring として考えるべきものは, trialgebra である。

群といえば変換群であるが, Zhu の [Zhu] では, Abelian category の変換群としての \(2\)-group が調べられている。

Chatterjee ら [CLS15] は \(2\)-group の small category への作用を考え, categorical principal bundle の概念を考えている。

群の拡大も一般化されている。Abel群による群の拡大は, braided \(2\)-group による拡大に一般化されている。Drinfel\('\)d, Gelaki, Nikshych, Ostrik の [Dri+10] や Jenkins の [Jen] など。

• braided \(2\)-group

Baez の この \(n\)-Category Café の post は, braided \(2\)-group に関するものである。

Baez は, この \(n\)-Category Café の post では, small category の automorphism のなす \(2\)-group, 特に \(n\)個の元を持つ集合を対象とし, 全単射を morphism にする groupoid の automorphism \(2\)-group について考察している。

• small category の automorphism \(2\)-group

References

[Bae+07]

John C. Baez, Danny Stevenson, Alissa S. Crans, and Urs Schreiber. “From loop groups to 2-groups”. In: Homology, Homotopy Appl. 9.2 (2007), pp. 101–135. arXiv: math / 0504123. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1201127333.

[CLS15]

Saikat Chatterjee, Amitabha Lahiri, and Ambar N. Sengupta. “Twisted-product categorical bundles”. In: J. Geom. Phys. 98 (2015), pp. 128–149. arXiv: 1506.04427. url: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2015.08.005.

[Dri+10]

Vladimir Drinfeld, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. “On braided fusion categories. I”. In: Selecta Math. (N.S.) 16.1 (2010), pp. 1–119. arXiv: 0906 . 0620. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-010-0017-z.

[Gan18]

Nora Ganter. “Categorical tori”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 14 (2018), Paper No. 014, 18. arXiv: 1406. 7046. url: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2018.014.

[Jen]

Evan Jenkins. Extensions of groups by braided 2-groups. arXiv: 1106.0772.

[Pfe07]

Hendryk Pfeiffer. “2-groups, trialgebras and their Hopf categories of representations”. In: Adv. Math. 212.1 (2007), pp. 62–108. arXiv: math/0411468. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.09.014.

[RW18]

Dmitriy Rumynin and Alex Wendland. “2-groups, 2-characters, and Burnside rings”. In: Adv. Math. 338 (2018), pp. 196–236. arXiv: 1604.02926. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.09.003.

[Zhu]

Xinwen Zhu. The 2-group of linear auto-equivalences of an abelian category and its Lie 2-algebra. arXiv: 0910.5699.