Cyclic Polytopes

Cyclic polytope の定義は簡単であり, \(p_{n}(t)=(t,t^{2},\ldots ,t^{n})\) で定義される写像 \(p_{n}:\R \to \R ^{n}\) と狭義単調増加列 \(\bm {t}=\{t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{m}\}\) を用い, \[ C(\bm {t},n) = \mathrm {Conv}(p_{n}(t_{1}),\ldots ,p_{n}(t_{m})) \] として定義されるものである。その組み合せ論的構造, つまり face poset は \(\bm {t}\) の取り方に依らないので, \(C(m,n)\) と表してもよい。

Oppermann と Thomas [OT12] は, 1911年の Carathéodory の論文 [Car11] を参照しているが, Williams [Wil22] は Carathéodory の仕事は, 単に関係があるだけだと言っている。 Williams は Gale [Gal55] と Motzkin [Mot57] により導入され, 調べられたと言っている。現在の定義は, Gale [Gal63] と Klee によるものであるが, Klee の lecture notes を手に入れるのは難しそうである。

最近の文献としては, Oppermann と Thomas [OT12] は, Barvinok の [Bar02] を挙げている。 Williams [Wil23] は, Barvinok の本の他に, Ziegler の本 [Zie95] の Lecture 0, Grünbaum の本 [Grü03] の §4.7, De Loera, Rambau, Santos の本 [DRS10] の §6.1 を挙げている。

De Loera の本が挙げられていることから分かるように, 興味深いのは, その単体分割であり, Stasheff-Tamari order の高次版や higher Auslander-Reiten theory [Iya07a; Iya07b] と関係あるようである。

References

[Bar02]

Alexander Barvinok. A course in convexity. Vol. 54. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002, pp. x+366. isbn: 0-8218-2968-8. url: https://doi.org/10.1090/gsm/054.

[Car11]

C Carathéodory. “Über den variabilitätsbereich der fourier’schen konstanten von positiven harmonischen funktionen”. In: Rend. Сirc. Math., Palermo 32 (1911), pp. 193–217.

[DRS10]

Jesús A. De Loera, Jörg Rambau, and Francisco Santos. Triangulations. Vol. 25. Algorithms and Computation in Mathematics. Structures for algorithms and applications. Berlin: Springer-Verlag, 2010, pp. xiv+535. isbn: 978-3-642-12970-4. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-12971-1.

[Gal55]

David Gale. “On convex polyhedra”. In: Bull. Amer. Math. Soc 61.6 (1955), pp. 505–574.

[Gal63]

David Gale. “Neighborly and cyclic polytopes”. In: Proc. Sympos. Pure Math., Vol. VII. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1963, pp. 225–232.

[Grü03]

Branko Grünbaum. Convex polytopes. Second. Vol. 221. Graduate Texts in Mathematics. Prepared and with a preface by Volker Kaibel, Victor Klee and Günter M. Ziegler. Springer-Verlag, New York, 2003, pp. xvi+468. isbn: 0-387-00424-6; 0-387-40409-0. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0019-9.

[Iya07a]

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[Iya07b]

Osamu Iyama. “Higher-dimensional Auslander-Reiten theory on maximal orthogonal subcategories”. In: Adv. Math. 210.1 (2007), pp. 22–50. arXiv: math/0407052. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.06.002.

[Mot57]

Theodore S Motzkin. “Comonotone curves and polyhedra”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 63 (1957).

[OT12]

Steffen Oppermann and Hugh Thomas. “Higher-dimensional cluster combinatorics and representation theory”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 14.6 (2012), pp. 1679–1737. arXiv: 1001 . 5437. url: https://doi.org/10.4171/JEMS/345.

[Wil22]

Nicholas J. Williams. “New interpretations of the higher Stasheff-Tamari orders”. In: Adv. Math. 407 (2022), Paper No. 108552, 49. arXiv: 2007.12664. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2022.108552.

[Wil23]

Nicholas J. Williams. “Quiver combinatorics and triangulations of cyclic polytopes”. en. In: Algebraic Combinatorics 6.3 (2023), pp. 639–660. url: https://alco.centre-mersenne.org/articles/10.5802/alco.280/.

[Zie95]

Günter M. Ziegler. Lectures on polytopes. Vol. 152. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995, pp. x+370. isbn: 0-387-94365-X. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8431-1.