Group of Self-homotopy Equivalences

位相空間 \(X\) から自分自身へのホモトピー同値写像のホモトピー類全体 \(\mathcal {E}(X)\) は, 合成により群をなす。 この群は, 古典的なホモトピー論の研究者により, 色々調べられているようである。何に使えるのかよく分からないが。 文献としては, Arkowitz の survey [Ark90] や open problem list [Ark01] をまず見るのがよいのだろうか。

どのような群が, \(\cE (X)\) として実現できるか, というのが中心的な問題であるが, Benkhalifa [Ben] によると, それを最初に考えたのは Kahn [Kah76] のようである。Benkhalifa は 「Kahn の実現問題」と呼んでいる。

Costoya と Viruel [CV14] は, 全ての有限群が \(\mathcal {E}(X)\) の形に実現でき, しかも \(X\) として rational elliptic space がとれることを示している。 彼等の証明は, 有限群がグラフの automorphism group として実現できるという Frucht の結果 [Fru39] を用い, グラフの automorphism group を \(\mathcal {E}(X)\) の形に実現する空間 \(X\) を構成していて面白い。

Benkhalifa [Ben] は, Costoya と Viruel のアイデアに基き, 任意の群が有限次元 CW complex \(X\) により \(\cE (X)\) として実現できることを示している。

References

[Ark01]

Martin Arkowitz. “Problems on self-homotopy equivalences”. In: Groups of homotopy self-equivalences and related topics (Gargnano, 1999). Vol. 274. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2001, pp. 309–315. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/274/23.

[Ark90]

Martin Arkowitz. “The group of self-homotopy equivalences—a survey”. In: Groups of self-equivalences and related topics (Montreal, PQ, 1988). Vol. 1425. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1990, pp. 170–203. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0083840.

[Ben]

Mahmoud Benkhalifa. Every group is the group of self homotopy equivalences of finite dimensional CW-complex. arXiv: 2110.13888.

[CV14]

Cristina Costoya and Antonio Viruel. “Every finite group is the group of self-homotopy equivalences of an elliptic space”. In: Acta Math. 213.1 (2014), pp. 49–62. arXiv: 1106 . 1087. url: https://doi.org/10.1007/s11511-014-0115-4.

[Fru39]

R. Frucht. “Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe”. In: Compositio Math. 6 (1939), pp. 239–250. url: http://www.numdam.org/item?id=CM_1939__6__239_0.

[Kah76]

Donald W. Kahn. “Realization problems for the group of homotopy classes of self-equivalences”. In: Math. Ann. 220.1 (1976), pp. 37–46. url: https://doi.org/10.1007/BF01354527.