特異点を持った多様体の特性類

多様体の特性類は, 特異点を持った代数多様体にも拡張されている。 Survey としては, Schürmann と Yokura の [SY07] がある。 ここから download できる Aluffi の lecture note もある。

Yokura の [Yok] では, singular variety の characteristic class の中でも, 重要なものとして以下が挙げられている。

• MacPherson の Chern class [Mac74]
• Baum, Fulton, MacPherson [BFM75] の singular variety に対する Riemann-Roch の定理
• Goresky と MacPherson [GM80] の homology \(L\)-class

Chern class や Todd class など, 個別に構成されていたものが, Brasselet と Schürmann と Yokura の [BSY10] で統一されたようである。

Orbifold の場合, まずは有限群の作用に関する global quotient を考えるべきであるが, そのための equivariant version は, Cappell, Maxim, Schürmann, Shaneson の [Cap+] で考えられている。

References

[BFM75]

Paul Baum, William Fulton, and Robert MacPherson. “Riemann-Roch for singular varieties”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 45 (1975), pp. 101–145.

[BSY10]

Jean-Paul Brasselet, Jörg Schürmann, and Shoji Yokura. “Hirzebruch classes and motivic Chern classes for singular spaces”. In: J. Topol. Anal. 2.1 (2010), pp. 1–55. arXiv: math/0503492. url: https://doi.org/10.1142/S1793525310000239.

[Cap+]

Sylvain E. Cappell, Laurentiu Maxim, Joerg Schuermann, and Julius L. Shaneson. Equivariant characteristic classes of singular complex algebraic varieties. arXiv: 1004.1844.

[GM80]

Mark Goresky and Robert MacPherson. “Intersection homology theory”. In: Topology 19.2 (1980), pp. 135–162. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(80)90003-8.

[Mac74]

R. D. MacPherson. “Chern classes for singular algebraic varieties”. In: Ann. of Math. (2) 100 (1974), pp. 423–432. url: https://doi.org/10.2307/1971080.

[SY07]

Jörg Schürmann and Shoji Yokura. “A survey of characteristic classes of singular spaces”. In: Singularity theory. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2007, pp. 865–952. arXiv: math/0511175. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789812707499_0037.

[Yok]

Shoji Yokura. Motivic bivariant characteristic classes. arXiv: 1005.1124.