Frobenius-Perron Theorem and Frobenius-Perron Dimension

成分が非負の実数である正方行列 \(A\) に対しては, いわゆる Frobenius-Perron theorem が成り立つ。Perron-Frobenius theorem と呼ばれることも多いようである。 その固有値の中に非負のものがあり, その中で最大のもの \(\lambda (A)\) は, 他の固有値の絶対値以上になる。また \(A\) の成分が全て正のときは, \(\lambda (A)\) も正で重複度\(1\)を持ち, その固有ベクトルは, 全て正の成分を持つ。といった内容の定理である。

• Frobenius-Perron theorem for matrix of nonnegative entries

Etingof, Nikshych, Ostrik の [ENO05] では, Gantmacher の [Gan98] が参照されている。

日本語では, 例えば, 齋藤の線形代数の教科書 [齋藤正66] にも, 演習問題として載っている。

Etingof らの本に登場するのは, 彼等が fusion category の object に対し, Frobenius-Perron dimension を定義しているからである。

それは, fusion category の Grothendieck group が unital based ring の構造を持つことによる。Based ring とは, Abel群として free である環で, 構造定数が非負になる基底を持ち, 更にいくつかの条件をみたすものである。

• based ring

有限 rank の based ring \(A\) に対しては, その条件をみたす \(\Z \) 基底の元 \(b\) をかける写像 \(A\to A\) から非負成分を持つ正方行列ができ, その最大の固有値 \(\lambda (b)\) を \(b\) の Frobenius-Perron dimension という。 更にその対応は ring homomorphism \[ \mathrm {FPdim} : A \rarrow {}\R \] に拡張できる。よって fusion category \(\bm {C}\) に対しても, ring homomorphism \[ \mathrm {FPdim} : K(\bm {C}) \rarrow {} \R \] が定義される。

• Frobenius-Perron dimension

他の一般化としては, Chen らによる Abelian category の Frobenius-Perron dimension [Che+19] や bound quiver algebra の表現の圏の Frobenius-Perron theory [CC] などがある。

References

[CC]

J. M. Chen and J. Y. Chen. Frobenius-Perron theory of the bound quiver algebras containing loops. arXiv: 2204.05458.

[Che+19]

Jianmin Chen et al. “Frobenius-Perron theory of endofunctors”. In: Algebra Number Theory 13.9 (2019), pp. 2005–2055. arXiv: 1711. 06670. url: https://doi.org/10.2140/ant.2019.13.2005.

[ENO05]

Pavel Etingof, Dmitri Nikshych, and Viktor Ostrik. “On fusion categories”. In: Ann. of Math. (2) 162.2 (2005), pp. 581–642. arXiv: math/0203060. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2005.162.581.

[Gan98]

F. R. Gantmacher. The theory of matrices. Vol. 1. Translated from the Russian by K. A. Hirsch, Reprint of the 1959 translation. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 1998, pp. x+374. isbn: 0-8218-1376-5.

[齋藤正66]

齋藤正彦. 線形代数入門. 東京大学出版会, Mar. 1966. isbn: 978-4-13-062001-7.