Conley Index

Conley index は, 力学系の isolated invariant set \(S\) に対し, その index pair \((N,L)\) を考え, 商空間 \(N/L\) のホモトピータイプとして定義される。Salamon の [Sal85] では homotopy index と呼ばれている。 この Salamon の論文は, 最初にホモトピー論の言葉が準備してあり, 親切である。 ホモトピータイプ自体を不変量とするのを最初に目にしたときは, ちょっと驚いた。

Conley index の離散版も考えられているが, その離散という意味は2種類ある。 まず時間軸, つまり \(\R \) を離散化して \(\Z \) にすること, そして空間自体を離散化することである。

時間軸の離散化については, Robbin と Salamon の[RS88], Mrozek の [Mro90], Franks と Richeson の [FR00], Szymczak の [Szy95], Mischaikow, Mrozek, Weilandt の [MMW16] などがある。

Szymczak の構成は一般の category に対する構成を導入して行なわれていて, その category が位相空間の homotopy category の場合として discrete Conley index が得られる。その圏論的構成については, Przybylski と Mrozek と Wiseman が [PMW] で, Szymczak category (functor) と名付けて調べている。

• Szymczak category
• Szymczak functor

空間の離散化として思い出すのは discrete Morse theory である。つまり, 多様体を regular CW complex で置き換えて, その face poset の言葉で記述する, というアプローチである。 これを行なっているものとして, Mrozek の [Mro17] がある。

References

[FR00]

John Franks and David Richeson. “Shift equivalence and the Conley index”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 352.7 (2000), pp. 3305–3322. arXiv: math / 9910171. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-00-02488-0.

[MMW16]

Konstantin Mischaikow, Marian Mrozek, and Frank Weilandt. “Discretization strategies for computing Conley indices and Morse decompositions of flows”. In: J. Comput. Dyn. 3.1 (2016), pp. 1–16. arXiv: 1511.04426. url: https://doi.org/10.3934/jcd.2016001.

[Mro17]

Marian Mrozek. “Conley-Morse-Forman theory for combinatorial multivector fields on Lefschetz complexes”. In: Found. Comput. Math. 17.6 (2017), pp. 1585–1633. arXiv: 1506 . 00018. url: https://doi.org/10.1007/s10208-016-9330-z.

[Mro90]

Marian Mrozek. “Leray functor and cohomological Conley index for discrete dynamical systems”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 318.1 (1990), pp. 149–178. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001233.

[PMW]

Mateusz Przybylski, Marian Mrozek, and Jim Wiseman. The Szymczak Functor on the Category of Finite Sets and Finite Relations. arXiv: 2203.08525.

[RS88]

Joel W. Robbin and Dietmar Salamon. “Dynamical systems, shape theory and the Conley index”. In: Ergodic Theory Dynam. Systems 8\(^*\).Charles Conley Memorial Issue (1988), pp. 375–393. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0143385700009494.

[Sal85]

Dietmar Salamon. “Connected simple systems and the Conley index of isolated invariant sets”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 291.1 (1985), pp. 1–41. url: http://dx.doi.org/10.2307/1999893.

[Szy95]

A. Szymczak. “The Conley index for discrete semidynamical systems”. In: Topology Appl. 66.3 (1995), pp. 215–240. url: http://dx.doi.org/10.1016/0166-8641(95)0003J-S.