Simplicial space のホモトピースペクトル系列

Simplicial space の 幾何学的実現は自然なフィルトレイションを持つので, その ホモロジー群に収束するスペクトル系列が構成できる。 そしてちょっと工夫すると, そのホモトピー群に収束する スペクトル系列を作ることもできる。 ここではそれを simplicial space のホモトピースペクトル系列と呼ぶことにしよう。

最初に考えたのは, Quillen [Qui66] なのだろうか。Baues と Blanc [BB10] によると, 他に扱われているところとしては, Bousfield と Friedlander の [BF78], Bousfield と Kan の本 [BK72], Dwyer, Kan, Stover の [DKS93; DKS95], Bousfield の [Bou89; Bou03] などがある。

Baues と Blanc は, [BB10] でその高次の項を記述するために \(n\)-stem という概念を導入している。

具体的な例としては Stover の van Kampen spectral sequence などがある。

• van Kampen spectral sequence [Sto90]
• Hurewicz spectral sequence [Bla90]

Stover は, van Kampen spectral sequence の一般化として, homotopy colimit のホモトピー群を計算する spectral sequence も構成している。

References

[BB10]

Hans Joachim Baues and David Blanc. “Stems and spectral sequences”. In: Algebr. Geom. Topol. 10.4 (2010), pp. 2061–2078. arXiv: 1008.4266. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2010.10.2061.

[BF78]

A. K. Bousfield and E. M. Friedlander. “Homotopy theory of \(\Gamma \)-spaces, spectra, and bisimplicial sets”. In: Geometric applications of homotopy theory (Proc. Conf., Evanston, Ill., 1977), II. Vol. 658. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1978, pp. 80–130.

[BK72]

A. K. Bousfield and D. M. Kan. Homotopy limits, completions and localizations. Vol. 304. Lecture Notes in Mathematics. 2nd corrected printing 1987. Berlin: Springer-Verlag, 1972, p. v 348.

[Bla90]

David A. Blanc. “A Hurewicz spectral sequence for homology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 318.1 (1990), pp. 335–354. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001242.

[Bou03]

A. K. Bousfield. “Cosimplicial resolutions and homotopy spectral sequences in model categories”. In: Geom. Topol. 7 (2003), 1001–1053 (electronic). arXiv: math/0312531. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2003.7.1001.

[Bou89]

A. K. Bousfield. “Homotopy spectral sequences and obstructions”. In: Israel J. Math. 66.1-3 (1989), pp. 54–104. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02765886.

[DKS93]

W. G. Dwyer, D. M. Kan, and C. R. Stover. “An \(E^2\) model category structure for pointed simplicial spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 90.2 (1993), pp. 137–152. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(93)90126-E.

[DKS95]

W. G. Dwyer, D. M. Kan, and C. R. Stover. “The bigraded homotopy groups \(\pi _{i,j}X\) of a pointed simplicial space \(X\)”. In: J. Pure Appl. Algebra 103.2 (1995), pp. 167–188. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(94)00102-O.

[Qui66]

D. G. Quillen. “Spectral sequences of a double semi-simplicial group”. In: Topology 5 (1966), pp. 155–157. url: https://doi.org/10.1016/0040-9383(66)90016-4.

[Sto90]

Christopher R. Stover. “A van Kampen spectral sequence for higher homotopy groups”. In: Topology 29.1 (1990), pp. 9–26. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(90)90022-C.