Bestvina-Brady group

Bestvina-Brady group と呼ばれる群がある。 グラフの right-angled Artin group の部分群として定義される。

Artal Bartolo と Cogolludo-Agustin と Matei の [ACM15] によると, Bieri の [Bie76] の \(\mathrm {FP}_n\) であるが \(\mathrm {FP}_{n+1}\) でない群の例の拡張として, Bestvina と Brady [BB97] により導入された。

グラフ \(\Gamma \) の right-angled Artin group は \(\Gamma \) の頂点で生成されているが, Bestvina と Brady は, 頂点に対応する生成元を \(1\in \Z \) にうつす写像の kernel を考えた。

Papadima と Suciu [PS09] は, より一般に right-angled Artin group の character の kernel を Artin kernel と呼んで調べている。

• Artin kernel

Bestvina-Brady group で smooth quasi-projective variety の 基本群として表わされるものの特徴付けについては, Dimca と Papadima と Suciu [DPS] により得られている。また, それらが 超平面配置の補集合の基本群になっていることを Artal と Cogulludo-Agustin と Matei が [ACM15] で示している。

Leary と Saadetoglu は, [LS11] で Bestvina-Brady group のコホモロジーを調べている。

References

[ACM15]

Enrique Artal Bartolo, José Ignacio Cogolludo-Agustín, and Daniel Matei. “Arrangements of hypersurfaces and Bestvina-Brady groups”. In: Groups Geom. Dyn. 9.1 (2015), pp. 103–131. arXiv: 1207.0311. url: https://doi.org/10.4171/GGD/307.

[BB97]

Mladen Bestvina and Noel Brady. “Morse theory and finiteness properties of groups”. In: Invent. Math. 129.3 (1997), pp. 445–470. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050168.

[Bie76]

Robert Bieri. “Normal subgroups in duality groups and in groups of cohomological dimension \(2\)”. In: J. Pure Appl. Algebra 7.1 (1976), pp. 35–51. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(76)90065-7.

[DPS]

Alexandru Dimca, Stefan Papadima, and Alexander I. Suciu. Quasi-Kähler Bestvina-Brady groups. arXiv: math/0603446.

[LS11]

Ian J. Leary and Müge Saadetoğlu. “The cohomology of Bestvina-Brady groups”. In: Groups Geom. Dyn. 5.1 (2011), pp. 121–138. arXiv: 0711.5018. url: https://doi.org/10.4171/GGD/118.

[PS09]

Stefan Papadima and Alexander I. Suciu. “Toric complexes and Artin kernels”. In: Adv. Math. 220.2 (2009), pp. 441–477. arXiv: 0801.3626. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.09.008.